Calcule integral triplaT 5 d V, em que T é o tetraedro limitado elos planos coordes pelo plano x+y+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular , onde é um tetraedro limitado pelos planos coordenados ( , , ) e pelo plano . Basicamente, precisamos calcular o volume desse tetraedro e multiplicar por 5. Para isso, vamos usar cálculo integral triplo, que nos permite somar pequenas “fatias” do volume para obter o total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O tetraedro está limitado pelos planos , , e . Isso significa que:
  • Para : varia de 0 até 1.
  • Para : para cada valor de , varia de 0 até (porque ).
  • Para : para cada par , varia de 0 até (pois ).

Passo 3

Agora, vamos montar o triplo integral com esses limites:
integral triplaT 5 , dV = integralx=0^1 integraly=0^1 - x integralz=0^1 - x - y 5 , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função constante 5 sobre todo o volume .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 - x - y 5 , dz = 5z gr|0^1 - x - y = 5(1 - x - y) - 5(0) = 5(1 - x - y) . Integrar uma constante é simples:
integral0^1 integral0^1 - x 5(1 - x - y) , dy , dx
Então, o integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 - x 5(1 - x - y) , dy :
5 integral0^1 - x (1 - x) - y , dy = 5 [ (1 - x)y - y^22 ] gr|0^1 - x
Para isso, vamos expandir a expressão dentro da integral:
5 [ (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 ] = 5 [ (1 - x)^22 ] = 52(1 - x)^2
Substituindo os limites:
integral0^1 52(1 - x)^2 , dx
Então, o integral fica:

Passo 6

Por fim, vamos integrar em relação a 52 integral0^1 (1 - x)^2 , dx :
52 [ (1 - x)^33 ] gr|0^1
Expandindo a integral:
52 ( 0 - 13 ) = 52 ( -13 ) = -56
Substituindo os limites:
56
Mas como o volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O valor do triplo integral é .

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