Calcule , em que T é o tetraedro limitado elos planos coordes pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular , onde é um tetraedro limitado pelos planos coordenados (, , ) e pelo plano . Basicamente, precisamos calcular o volume desse tetraedro e multiplicar por 5. Para isso, vamos usar cálculo integral triplo, que nos permite somar pequenas “fatias” do volume para obter o total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O tetraedro está limitado pelos planos , , e . Isso significa que:
Para : varia de 0 até 1.
Para : para cada valor de , varia de 0 até (porque ).
Para : para cada par , varia de 0 até (pois ).
Passo 3
Agora, vamos montar o triplo integral com esses limites:
Aqui, estamos integrando a função constante 5 sobre todo o volume .
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a . Integrar uma constante é simples:
Então, o integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a integral0^1 - x 5(1 - x - y) , dy :
5 integral0^1 - x (1 - x) - y , dy = 5 [ (1 - x)y - y^22 ] gr|0^1 - x
Para isso, vamos expandir a expressão dentro da integral: