Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ( )Diz-se que
) é diferenciavel no ponto (a, b) quando as derivadas parciais existem em (a, b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos falando sobre funções de duas variáveis,
, e queremos saber se a afirmação “f é diferenciável no ponto
quando as derivadas parciais existem nesse ponto” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e qual a relação disso com as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de
em relação a
, por exemplo, mostra como
muda quando só variamos
, mantendo
constante. Se as derivadas parciais existem em
, isso significa que conseguimos calcular essas taxas de variação naquele ponto específico.
Passo 3
Agora, diferenciabilidade é um conceito um pouco mais complexo. Uma função
é dita diferenciável em
se ela pode ser bem aproximada por uma transformação linear (um plano tangente) perto desse ponto. Isso quer dizer que, próximo a
, a função se comporta de maneira “suave” e previsível, seguindo essa aproximação linear.
Passo 4
Apesar de ter as derivadas parciais ser uma condição necessária para a diferenciabilidade, não é uma condição suficiente. Ou seja, só porque as derivadas parciais existem em
, não significa automaticamente que a função é diferenciável ali. Pode acontecer de as derivadas parciais existirem, mas a função ainda não ser bem aproximada por uma transformação linear naquele ponto.
Passo 5
Um exemplo clássico disso é a função
. As derivadas parciais de
existem em
, mas a função não é diferenciável nesse ponto, pois não há um plano tangente que a aproxime linearmente ali. Isso mostra que a existência das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade.
Resposta
Falso. A existência das derivadas parciais em
não garante que a função
seja diferenciável nesse ponto.