Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ( )Diz-se que f(x, y) ) é diferenciavel no ponto (a, b) quando as derivadas parciais existem em (a, b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos falando sobre funções de duas variáveis, , e queremos saber se a afirmação “f é diferenciável no ponto quando as derivadas parciais existem nesse ponto” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e qual a relação disso com as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a , por exemplo, mostra como muda quando só variamos , mantendo constante. Se as derivadas parciais existem em , isso significa que conseguimos calcular essas taxas de variação naquele ponto específico.

Passo 3

Agora, diferenciabilidade é um conceito um pouco mais complexo. Uma função é dita diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por uma transformação linear (um plano tangente) perto desse ponto. Isso quer dizer que, próximo a , a função se comporta de maneira “suave” e previsível, seguindo essa aproximação linear.

Passo 4

Apesar de ter as derivadas parciais ser uma condição necessária para a diferenciabilidade, não é uma condição suficiente. Ou seja, só porque as derivadas parciais existem em , não significa automaticamente que a função é diferenciável ali. Pode acontecer de as derivadas parciais existirem, mas a função ainda não ser bem aproximada por uma transformação linear naquele ponto.

Passo 5

Um exemplo clássico disso é a função . As derivadas parciais de existem em , mas a função não é diferenciável nesse ponto, pois não há um plano tangente que a aproxime linearmente ali. Isso mostra que a existência das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade.

Resposta

Falso. A existência das derivadas parciais em não garante que a função seja diferenciável nesse ponto.

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