Calcule as seguintes integrais duplas: integral0^1 integralx^2(x-y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis e entender a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está sendo calculada de a e, para cada , de a . Isso define a região sobre a qual vamos integrar a função .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, ou seja, a integral em relação a integralx^2 (x - y) , dy . Então, temos:
Essa é uma integral simples de uma função linear em .

Passo 4

Integrando integral (x - y) , dy = x cdot y - 12 y^2 + C em relação a , tratamos como constante:
Aqui, usamos a regra da potência para integrar .

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de [ x cdot y - 12 y^2 ]y = x^y = 2 = ( x cdot 2 - 12 (2)^2 ) - ( x cdot x - 12 x^2 ) a :

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para 2x - 12 cdot 4 = 2x - 2 :
x^2 - 12 x^2 = 12 x^2
Para (2x - 2) - ( 12 x^2 ) = 2x - 2 - 12 x^2 :
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, temos a integral externa em relação a integral0^1 (2x - 2 - 12 x^2 ) dx :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando cada termo:
integral 2x , dx = x^2
integral (-2) , dx = -2x
integral -12 x^2 , dx = -16 x^3
Então, a integral se torna:
x^2 - 2x - 16 x^3 gr|0^1

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 1^2 - 2(1) - 16 (1)^3 = 1 - 2 - 16 = -1 - 16 = -76 a 0 - 0 - 0 = 0 :
Para -76 - 0 = -76 :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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