Calcule a integral onde é limitado pelo paraboloide e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla , onde a região é limitada pelo paraboloide e pelo plano . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais triplas, que nos ajudam a encontrar volumes e outras quantidades em espaços tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . O paraboloide abre na direção positiva do eixo , e é limitado pelo plano . Isso significa que nosso volume está entre o paraboloide e o plano horizontal .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cartesianas. Precisamos encontrar os limites para , e . Observando e , podemos determinar que:
  • Para , varia de até .
  • Para e , precisamos encontrar a projeção da região no plano .

Passo 4

A projeção da região no plano acontece quando . Então, temos , simplificando, . Isso descreve um círculo de raio no plano . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 5

Agora podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro. A integral de com respeito a é simplesmente multiplicado pelo intervalo de integração:

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral dupla:

Passo 8

Vamos integrar em relação a . Observe que as funções e são ímpares em relação a , e estamos integrando de a , o que resulta em zero. A única parte que não anula é o termo :
Mas como é uma função ímpar, a integral também resulta em zero.

Passo 9

Portanto, toda a integral dupla resulta em zero:

Resposta

A integral tripla é igual a 0.

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Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:
Calcule a integral , onde é a região delimitada por .
Calcule o volume da parte do cone entre os planos e .