Calcule a integral integral triplaT x d V onde T é limitado pelo paraboloide y=3 x^2+3 z^2 e pelo plano y=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaT x , dV, onde a região T é limitada pelo paraboloide y = 3x^2 + 3z^2 e pelo plano y = 3. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais triplas, que nos ajudam a encontrar volumes e outras quantidades em espaços tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região T. O paraboloide y = 3x^2 + 3z^2 abre na direção positiva do eixo y, e é limitado pelo plano y = 3. Isso significa que nosso volume T está entre o paraboloide e o plano horizontal y = 3.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cartesianas. Precisamos encontrar os limites para x, z e y. Observando y = 3x^2 + 3z^2 e y = 3, podemos determinar que:
  • Para y, varia de 3x^2 + 3z^2 até 3.
  • Para x e z, precisamos encontrar a projeção da região no plano xy.

Passo 4

A projeção da região no plano xz acontece quando y = 3. Então, temos 3 = 3x^2 + 3z^2, simplificando, x^2 + z^2 = 1. Isso descreve um círculo de raio 1 no plano xz. Portanto, x varia de -1 a 1, e para cada x, z varia de -raiz1 - x^2 a raiz1 - x^2.

Passo 5

Agora podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:
integral triplaT x , dV = integralx=-1^1 integralz=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integraly=3x^2 + 3z^2^3 x , dy , dz , dx

Passo 6

Vamos integrar em relação a y primeiro. A integral de x com respeito a y é simplesmente x multiplicado pelo intervalo de integração:
integraly=3x^2 + 3z^2^3 x , dy = x [ y ]3x^2 + 3z^2^3 = x (3 - (3x^2 + 3z^2)) = x (3 - 3x^2 - 3z^2) = 3x - 3x^3 - 3x z^2

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral dupla:
integralx=-1^1 integralz=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (3x - 3x^3 - 3x z^2) , dz , dx

Passo 8

Vamos integrar em relação a z. Observe que as funções x e x^3 são ímpares em relação a z, e estamos integrando de -a a a, o que resulta em zero. A única parte que não anula é o termo -3x z^2:
integralz=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (-3x z^2) , dz = -3x integral- raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 z^2 , dz = -3x [ z^33 ]- raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 = -3x ( (raiz1 - x^2)^33 - (-raiz1 - x^2)^33 )
Mas como z^3 é uma função ímpar, a integral também resulta em zero.

Passo 9

Portanto, toda a integral dupla resulta em zero:
integral triplaT x , dV = 0

Resposta

A integral tripla integral triplaT x , dV é igual a 0.

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