Calcule a integral
onde
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
, onde a região
é limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais triplas, que nos ajudam a encontrar volumes e outras quantidades em espaços tridimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O paraboloide
abre na direção positiva do eixo
, e é limitado pelo plano
. Isso significa que nosso volume
está entre o paraboloide e o plano horizontal
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cartesianas. Precisamos encontrar os limites para
,
e
. Observando
e
, podemos determinar que:
- Para
, varia de até . - Para
e , precisamos encontrar a projeção da região no plano .
Passo 4
A projeção da região no plano
acontece quando
. Então, temos
, simplificando,
. Isso descreve um círculo de raio
no plano
. Portanto,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Agora podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral de
com respeito a
é simplesmente
multiplicado pelo intervalo de integração:
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral dupla:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
. Observe que as funções
e
são ímpares em relação a
, e estamos integrando de
a
, o que resulta em zero. A única parte que não anula é o termo
:
Mas como
é uma função ímpar, a integral também resulta em zero.
Passo 9
Portanto, toda a integral dupla resulta em zero:
Resposta
A integral tripla
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:
Calcule a integral
, onde
é a região delimitada por
.
Calcule o volume da parte do cone
entre os planos
e
.