Calcule o volume da parte do cone
entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular o volume da parte do cone dado pela equação
que está entre os planos
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração em coordenadas cilíndricas, que é super útil para formas como cones e cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cone
. Essa equação pode ser reescrita em coordenadas cilíndricas como
, onde
é a distância do ponto ao eixo
. Isso simplifica nossa vida porque trabalhar em coordenadas cilíndricas facilita a integração de volumes com simetria circular.
Passo 3
Sabemos que queremos o volume entre
e
. Em coordenadas cilíndricas, isso significa que
varia de 1 a 2, já que
. Também, o ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a volta ao redor do eixo
.
Passo 4
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui,
é o fator de escala que aparece na medida de volume nessas coordenadas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
O volume da parte do cone entre os planos
e
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:
Decida se a seguinte sequência é convergente ou divergente:
. E se o primeiro termo fosse
?