Calcule o volume da parte do cone entre os planos e .

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o volume da parte do cone dado pela equação que está entre os planos e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração em coordenadas cilíndricas, que é super útil para formas como cones e cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cone . Essa equação pode ser reescrita em coordenadas cilíndricas como , onde é a distância do ponto ao eixo . Isso simplifica nossa vida porque trabalhar em coordenadas cilíndricas facilita a integração de volumes com simetria circular.

Passo 3

Sabemos que queremos o volume entre e . Em coordenadas cilíndricas, isso significa que varia de 1 a 2, já que . Também, o ângulo vai de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .

Passo 4

A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Aqui, é o fator de escala que aparece na medida de volume nessas coordenadas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Resposta

O volume da parte do cone entre os planos e é unidades cúbicas.

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