Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o expoente da função exponencial:
. Para entender o comportamento da sequência quando
cresce, precisamos calcular o limite desse expoente quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular:
Podemos dividir numerador e denominador por
para simplificar:
À medida que
cresce,
tende a zero. Então:
Passo 4
Então, o limite do expoente é 2. Agora, vamos voltar à sequência original:
À medida que
tende ao infinito,
se aproxima de
.
Passo 5
Como o limite da sequência
existe e é finito, concluímos que a sequência converge.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.