Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]
a_n = e^(2n/(n+2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o expoente da função exponencial: . Para entender o comportamento da sequência quando cresce, precisamos calcular o limite desse expoente quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular:
Podemos dividir numerador e denominador por para simplificar:
À medida que cresce, tende a zero. Então:

Passo 4

Então, o limite do expoente é 2. Agora, vamos voltar à sequência original:
À medida que tende ao infinito, se aproxima de .

Passo 5

Como o limite da sequência existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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