Calcule em que . Esboce o sólido que define os limites de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o conjunto de pontos que satisfazem: Esse problema está ligado à matéria de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Imagine um espaço tridimensional onde vai de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até . E, para cada par , varia de 0 até . Essa região forma um tetraedro no espaço.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. A integral pode ser escrita em termos de integrais iteradas, seguindo os limites dados: Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois em relação a , e por último em relação a .

Passo 4

Vamos começar integrando a função em relação a : Isso simplifica a nossa integral para:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a : Vamos fazer uma substituição para facilitar: Quando , , e quando , . Então: Agora, a integral fica:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a : Vamos expandir : Então: Calculando cada integral: Substituindo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.\ ( ) existe uma função tal que