Calcule
em que . Esboce o sólido que define os limites de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o conjunto de pontos que satisfazem:
Esse problema está ligado à matéria de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Imagine um espaço tridimensional onde vai de 0 a 1. Para cada valor de , varia de 0 até . E, para cada par , varia de 0 até . Essa região forma um tetraedro no espaço.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. A integral pode ser escrita em termos de integrais iteradas, seguindo os limites dados:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois em relação a , e por último em relação a .
Passo 4
Vamos começar integrando a função em relação a :
Isso simplifica a nossa integral para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Quando , , e quando , . Então:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a :
Vamos expandir :
Então:
Calculando cada integral:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral tripla é .
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(b)
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(e)
Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.\
( ) existe uma função tal que