Encontre a linearização T(x, y) da função f(x, y) = 1 + x ln(x y - 5) no ponto (2,3), e use-a para encontrar um valor aproximado para f(2,01 ; 2,995).
OBS: Só para conhecimento, saiba que 1 + 2,01 ln(2,01 * 2,995 - 5) = 1,0397047 (aproximação com 7 casas decimais depois da vírgula).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função no ponto . A linearização é uma aproximação linear de uma função perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para construir a equação da reta tangente. Depois, vamos usar essa linearização para estimar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a linearização de uma função no ponto é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular onde :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, avaliamos em :
Segundo, a derivada parcial em relação a :
Avaliando em :

Passo 5

Agora que temos , e , podemos montar a equação da linearização:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão da linearização:

Passo 7

Agora, vamos usar a linearização para estimar . Substituímos e na equação de :
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Resposta

A linearização . Usando-a, o valor aproximado de é .

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