Encontre a linearização
da função
no ponto
, e use-a para encontrar um valor aproximado para
.
OBS: Só para conhecimento, saiba que
(aproximação com 7 casas decimais depois da vírgula).
OBS: Só para conhecimento, saiba que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função
no ponto
. A linearização é uma aproximação linear de uma função perto de um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para construir a equação da reta tangente. Depois, vamos usar essa linearização para estimar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a linearização
de uma função
no ponto
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular
onde
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliamos em
:
Segundo, a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, podemos montar a equação da linearização:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão da linearização:
Passo 7
Agora, vamos usar a linearização para estimar
. Substituímos
e
na equação de
:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
A linearização
. Usando-a, o valor aproximado de
é
.
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(b)
(b)
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. Faça o esboço do sólido e monte uma integral tripla.
Calcule
em que
. Esboce o sólido
que define os limites de integração.
Racionalize as expressōes:
(e)
(e)