Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) existe uma função tal que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa decidir se existe uma função que satisfaça as seguintes derivadas parciais para todo em :
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas cruzadas. Se for diferenciável, então as derivadas parciais de segunda ordem devem ser iguais, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a . Dado que:
Derivando isso em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a . Dado que:
Derivando isso em relação a :

Passo 4

Vamos agora comparar e :
Para que a função exista, essas duas expressões precisam ser iguais para todo e .

Passo 5

Observando a diferença entre e , percebemos que:
Para que sejam iguais, precisamos que para todo , o que não é verdade, já que não é zero para todos os valores de .

Resposta

Falsa. Não existe uma função que satisfaça as derivadas parciais dadas para todo e , pois as derivadas cruzadas e não são iguais.

Exercícios relacionados

Racionalize as expressōes:
(e)
Calcule
em que . Esboce o sólido que define os limites de integração.
Desenvolva os seguites produtos notáveis:
(e)
Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) A função
é diferenciável em