Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) existe uma função
tal que
( ) existe uma função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa decidir se existe uma função
que satisfaça as seguintes derivadas parciais para todo
em
:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas cruzadas. Se
for diferenciável, então as derivadas parciais de segunda ordem devem ser iguais, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Dado que:
Derivando isso em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Dado que:
Derivando isso em relação a
:
Passo 4
Vamos agora comparar
e
:
Para que a função
exista, essas duas expressões precisam ser iguais para todo
e
.
Passo 5
Observando a diferença entre
e
, percebemos que:
Para que sejam iguais, precisamos que
para todo
, o que não é verdade, já que
não é zero para todos os valores de
.
Resposta
Falsa. Não existe uma função
que satisfaça as derivadas parciais dadas para todo
e
, pois as derivadas cruzadas
e
não são iguais.
Exercícios relacionados
Racionalize as expressōes:
(e)
(e)
Calcule
em que
. Esboce o sólido
que define os limites de integração.
Desenvolva os seguites produtos notáveis:
(e)
(e)
Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) A função
( ) A função
é diferenciável em