Decida (justificando) se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Só serão aceitas respostas com a devida justificativa.
( ) existe uma função f: R^2 R tal que
partial fpartial x(x, y)=y^2 e^2 x+cos (y) e partial fpartial y(x, y)=y e^2 x para todo x, y in R^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa decidir se existe uma função partial fpartial x(x, y) = y^2 e^2x + cos(y) e partial fpartial y(x, y) = y e^2x que satisfaça as seguintes derivadas parciais para todo em :
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas cruzadas. Se for diferenciável, então as derivadas parciais de segunda ordem devem ser iguais, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial fpartial x = y^2 e^2x + cos(y) , que é a derivada parcial de fxy = partialpartial y( y^2 e^2x + cos(y) ) = 2y e^2x - sin(y) em relação a . Dado que:
Derivando isso em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular partial fpartial y = y e^2x , que é a derivada parcial de fyx = partialpartial x( y e^2x ) = 2y e^2x em relação a . Dado que:
Derivando isso em relação a :

Passo 4

Vamos agora comparar fxy = 2y e^2x - sin(y) e fyx = 2y e^2x e :
Para que a função exista, essas duas expressões precisam ser iguais para todo e .

Passo 5

Observando a diferença entre fxy - fyx = -sin(y) e , percebemos que:
Para que sejam iguais, precisamos que para todo , o que não é verdade, já que não é zero para todos os valores de .

Resposta

Falsa. Não existe uma função que satisfaça as derivadas parciais dadas para todo e , pois as derivadas cruzadas e não são iguais.

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