Calcule o volume do sólido W definido como abaixo
W = {(x, y, z) em R^3 ; raiz((x^2 + y^2)/3) <= z <= raiz(x^2 + y^2), 2x <= y <= 3x} e 1 <= x^2 + y^2 + z^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido tridimensional chamado . O enunciado nos dá várias condições que definem esse sólido:
  1. Condições para :
  2. Condições para :
  3. Condições para a esfera:
Para resolver isso, vamos precisar usar integração tripla em coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são ótimas aqui porque lidam bem com simetrias circulares e esféricas, o que está presente nas condições do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume fica .
Vamos converter todas as condições do enunciado para coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos começar com as condições para :
Em coordenadas cilíndricas, . Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, as condições para :
Substituindo e :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por (já que ):
Isso nos ajuda a encontrar os limites para .

Passo 5

Vamos agora resolver a inequação .
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Isso significa que varia de a .

Passo 6

Agora, vamos considerar as condições da esfera:
Em coordenadas cilíndricas:
Como já sabemos os limites para em termos de , podemos usar isso para encontrar os limites para .

Passo 7

Vamos determinar os limites para . Dado que:
E sabemos que , substituímos esses valores de :
Para o limite inferior:
Então:
Para o limite superior:
Então, varia de a .

Passo 8

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, integramos em relação a :
Calculando a integral de :
Então:
Simplificando:

Passo 11

Por fim, integramos em relação a :
A integral de é simplesmente a diferença dos limites:

Resposta

Portanto, o volume do sólido é:

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integral triplaW x^2+y^2 d V
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onde W=(x, y, z) in R^3 ; 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4.