Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido tridimensional chamado . O enunciado nos dá várias condições que definem esse sólido:
Condições para :
Condições para :
Condições para a esfera:
Para resolver isso, vamos precisar usar integração tripla em coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são ótimas aqui porque lidam bem com simetrias circulares e esféricas, o que está presente nas condições do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume fica .
Vamos converter todas as condições do enunciado para coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Vamos começar com as condições para :
Em coordenadas cilíndricas, . Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, as condições para :
Substituindo e :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por (já que ):
Isso nos ajuda a encontrar os limites para .
Passo 5
Vamos agora resolver a inequação .
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Isso significa que varia de a .
Passo 6
Agora, vamos considerar as condições da esfera:
Em coordenadas cilíndricas:
Como já sabemos os limites para em termos de , podemos usar isso para encontrar os limites para .
Passo 7
Vamos determinar os limites para . Dado que:
E sabemos que , substituímos esses valores de :
Para o limite inferior:
Então:
→ →
Para o limite superior:
→ →
Então, varia de a .
Passo 8
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 10
Agora, integramos em relação a :
Calculando a integral de :
Então:
Simplificando:
Passo 11
Por fim, integramos em relação a :
A integral de é simplesmente a diferença dos limites: