Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
f(x) = 2^x - 1

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre gráficos de funções exponenciais! A função que vamos analisar é . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar entender como funciona uma função exponencial e como identificar seus comportamentos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma básica da função exponencial. A função geral é , onde é a base. No nosso caso, , o que significa que a função está crescendo, pois . Isso significa que, conforme aumenta, o valor de também aumenta.

Passo 3

Agora, observamos que nossa função é . O termo “-1” desloca todo o gráfico da função para baixo em 1 unidade. Isso não afeta o comportamento de crescimento, apenas muda a posição vertical do gráfico.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos importantes para esboçar o gráfico:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Esses pontos nos ajudam a desenhar o esboço do gráfico.

Passo 5

Agora, vamos classificar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos a derivada da função, que nos mostra a taxa de variação.
A derivada de é:
Como e são sempre positivos, para todo . Isso significa que a função está sempre crescendo.

Resposta

O gráfico da função é uma curva exponencial que passa pelos pontos (0,0), (1,1) e (-1,-0,5), deslocada 1 unidade para baixo. A função está sempre crescendo em todo o seu domínio.

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