Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre gráficos de funções exponenciais! A função que vamos analisar é
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função e determinar onde ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar entender como funciona uma função exponencial e como identificar seus comportamentos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma básica da função exponencial. A função geral é
, onde
é a base. No nosso caso,
, o que significa que a função está crescendo, pois
. Isso significa que, conforme
aumenta, o valor de
também aumenta.
Passo 3
Agora, observamos que nossa função é
. O termo “-1” desloca todo o gráfico da função para baixo em 1 unidade. Isso não afeta o comportamento de crescimento, apenas muda a posição vertical do gráfico.
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos importantes para esboçar o gráfico:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Esses pontos nos ajudam a desenhar o esboço do gráfico.
Passo 5
Agora, vamos classificar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos a derivada da função, que nos mostra a taxa de variação.
A derivada de
é:
Como
e
são sempre positivos,
para todo
. Isso significa que a função está sempre crescendo.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva exponencial que passa pelos pontos (0,0), (1,1) e (-1,-0,5), deslocada 1 unidade para baixo. A função está sempre crescendo em todo o seu domínio.
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Calcule
onde
.
Seja
, em que
é diferenciável. Verifique que
para todo
.