Calcule
integral triplaW x^2+y^2 d V
onde
W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+(z-3)^2 <= 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de sobre a região , que é uma esfera com centro em e raio 3. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como configurar a integral nessa coordenada e definir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque a expressão x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z se simplifica para nessas coordenadas, o que facilita a integração. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região x^2 + y^2 + (z - 3)^2 <= 9 é definida por:
r^2 + (z - 3)^2 <= 9
Em coordenadas cilíndricas, isso vira:
Isso descreve uma esfera com raio 3 centrada em . Para cada valor de entre 0 e 3, varia de até . O ângulo varia de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW (x^2 + y^2) , dV = integral0^2pi integral0^3 integral3 - raiz9 - r^2^3 + raiz9 - r^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, vem de e o extra é do elemento de volume .

Passo 5

Vamos primeiro integrar em relação a integral3 - raiz9 - r^2^3 + raiz9 - r^2 dz = 2 raiz9 - r^2 :
integral0^2pi integral0^3 r^3 cdot 2 raiz9 - r^2 , dr , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^3 r^3 raiz9 - r^2 , dr , dtheta
Então, a integral fica:
2 cdot 2pi integral0^3 r^3 raiz9 - r^2 , dr = 4pi integral0^3 r^3 raiz9 - r^2 , dr
Integrando em relação a r^3 = r cdot r^2 = r (9 - u) :
4pi integralu=9^u=0 (9 - u) r cdot -12 raizu , du = 2pi integral0^9 (9 - u) raizu , du
Para resolver a integral em 2pi [ 9 integral0^9 u^1/2 , du - integral0^9 u^3/2 , du ] , fazemos uma substituição:
Seja integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 e integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 , então 2pi [ 9 cdot 23 cdot 9^3/2 - 25 cdot 9^5/2 ] = 2pi [ 9 cdot 23 cdot 27 - 25 cdot 243 ] ou 2pi [ 162 - 4865 ] = 2pi [ 810 - 4865 ] = 2pi [ 3245 ] = 6485 pi .
Expressando em termos de :
Substituindo na integral:
Expandindo e integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Aplicando os limites:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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