Calcule
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é uma esfera com centro em
e raio 3. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como configurar a integral nessa coordenada e definir os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque a expressão
se simplifica para
nessas coordenadas, o que facilita a integração. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região
é definida por:
Em coordenadas cilíndricas, isso vira:
Isso descreve uma esfera com raio 3 centrada em
. Para cada valor de
entre 0 e 3,
varia de
até
. O ângulo
varia de 0 a
.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
vem de
e o
extra é do elemento de volume
.
Passo 5
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Para resolver a integral em
, fazemos uma substituição:
Seja , então
ou
.
Seja
Expressando
em termos de
:
Substituindo na integral:
Expandindo e integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.
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.
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.
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e