Calcule o volume do sólido limitado pelo cone de equação
, pelo cilindro de equação
e pelo plano de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por três superfícies: um cone dado pela equação
, um cilindro com a equação
e um plano no nível
. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as formas envolvidas:
- Cone: A equação
representa um cone que se abre para cima e para baixo a partir da origem. - Cilindro: A equação
descreve um cilindro circular de raio 2, deslocado 2 unidades ao longo do eixo y. - Plano: A equação
é um plano horizontal que corta o cone e o cilindro.
Vamos visualizar isso para entender os limites de integração.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessa coordenada, o cone fica mais simples:
O cilindro se torna:
Vamos resolver essa equação para encontrar os limites de
e
.
Passo 4
Expandindo a equação do cilindro:
Simplificando:
Como
:
Então,
ou
.
Isso nos dá o limite superior para
:
.
Passo 5
Agora, determinamos os limites para
. Como
e
(já que
),
varia de
a
.
Por fim, o limite para
vai de
(o cone) até
(o plano).
Passo 6
Com todos os limites definidos, configuramos a integral para o volume:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas cilíndricas, e a ordem de integração é
,
,
.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos expandir e integrar em relação a
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Aplicando esses resultados:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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.
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Simplifique:
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onde
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