Calcule o volume do sólido limitado pelo cone de equação z^2 = x^2 + y^2, pelo cilindro de equação x^2 + (y - 2)^2 = 4 e pelo plano de equação z = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está limitado por três superfícies: um cone dado pela equação , um cilindro com a equação e um plano no nível . Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as formas envolvidas:
  1. Cone: A equação representa um cone que se abre para cima e para baixo a partir da origem.
  2. Cilindro: A equação descreve um cilindro circular de raio 2, deslocado 2 unidades ao longo do eixo y.
  3. Plano: A equação é um plano horizontal que corta o cone e o cilindro.
Vamos visualizar isso para entender os limites de integração.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenada, o cone fica mais simples:
(considerando , já que estamos acima do plano ).
O cilindro se torna:
.
Vamos resolver essa equação para encontrar os limites de e .

Passo 4

Expandindo a equação do cilindro:
Simplificando:
Como :
Então, ou .
Isso nos dá o limite superior para : .

Passo 5

Agora, determinamos os limites para . Como e (já que ), varia de a .
Por fim, o limite para vai de (o cone) até (o plano).

Passo 6

Com todos os limites definidos, configuramos a integral para o volume:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas cilíndricas, e a ordem de integração é , , .

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos expandir e integrar em relação a :
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Sabemos que:
Aplicando esses resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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