Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
onde é a região dentro da elipsoide
e são maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que simplifica a elipsoide para uma esfera unitária. Isso facilita muito os cálculos. Vamos precisar também entender como calcular o jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipsoide em uma esfera. Vamos definir:
Com essas substituições, a condição da região fica:
e . Agora, nossa região virou a parte do primeiro octante de uma esfera unitária.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a integral original em termos das novas variáveis . Substituindo , , e , a integral fica:
onde é o valor absoluto do determinante jacobiano da transformação. Vamos calcular esse jacobiano.
Passo 4
O jacobiano para a mudança de variável de para é a matriz das derivadas parciais:
[
J =
]
O determinante desse jacobiano é:
Passo 5
Substituindo tudo de volta na integral, temos:
integral triplaW x y z , dx , dy , dz = integral triplau^2 + v^2 + w^2 <= 1, , u,v,w >= 0 (a u)(b v)(c w) cdot a b c , du , dv , dw
Simplificando os termos:
= a b c cdot a b c cdot integral triplau^2 + v^2 + w^2 <= 1, , u,v,w >= 0 u v w , du , dv , dw
= a^2 b^2 c^2 cdot integral tripla1ª oitante da esfera u v w , du , dv , dw ª
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
integral tripla1ª oitante da esfera u v w , du , dv , dw ª
Para isso, podemos usar coordenadas esféricas. Porém, como estamos na primeira oitante, os limites são de 0 a integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 (r sinphi costheta)(r sinphi sintheta)(r cosphi) r^2 sinphi , dr , dtheta , dphi para os ângulos. A integral em coordenadas esféricas fica: