Calcule
integral triplaW x y z d x d y d z
onde
W=(x, y, z) in R^3: x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1, x >= 0, y >= 0, z >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaW x y z , dx , dy , dz
onde x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 <= 1 é a região dentro da elipsoide
e são maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variável que simplifica a elipsoide para uma esfera unitária. Isso facilita muito os cálculos. Vamos precisar também entender como calcular o jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipsoide em uma esfera. Vamos definir:
u = xa, v = yb, w = zc
Com essas substituições, a condição da região u^2 + v^2 + w^2 <= 1 fica:
e . Agora, nossa região virou a parte do primeiro octante de uma esfera unitária.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a integral original em termos das novas variáveis integral triplaW (a u)(b v)(c w) cdot |J| , du , dv , dw . Substituindo , , e , a integral fica:
onde é o valor absoluto do determinante jacobiano da transformação. Vamos calcular esse jacobiano.

Passo 4

O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c para a mudança de variável de |J| = a cdot b cdot c = a b c para é a matriz das derivadas parciais:

[
J =


]
O determinante desse jacobiano é:

Passo 5

Substituindo tudo de volta na integral, temos:
integral triplaW x y z , dx , dy , dz = integral triplau^2 + v^2 + w^2 <= 1, , u,v,w >= 0 (a u)(b v)(c w) cdot a b c , du , dv , dw
Simplificando os termos:
= a b c cdot a b c cdot integral triplau^2 + v^2 + w^2 <= 1, , u,v,w >= 0 u v w , du , dv , dw
= a^2 b^2 c^2 cdot integral tripla1ª oitante da esfera u v w , du , dv , dw ª

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral tripla1ª oitante da esfera u v w , du , dv , dw ª
Para isso, podemos usar coordenadas esféricas. Porém, como estamos na primeira oitante, os limites são de 0 a integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 (r sinphi costheta)(r sinphi sintheta)(r cosphi) r^2 sinphi , dr , dtheta , dphi para os ângulos. A integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 r^5 sin^3phi cosphi costheta sintheta , dr , dtheta , dphi
Simplificando:

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^1 r^5 , dr = [ r^66 ]0^1 = 16 primeiro:
16 integral0^pi2 integral0^pi2 sin^3phi cosphi costheta sintheta , dtheta , dphi
Agora, a integral fica:

Passo 8

Integramos agora em relação a integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta = integral0^pi2 12 sin(2theta) , dtheta = 12 [ -12 cos(2theta) ]0^pi2 = 12 ( -12 [cospi - cos0] ) = 12 ( -12 [-1 - 1] ) = 12 cdot 1 = 12 :
16 cdot 12 integral0^pi2 sin^3phi cosphi , dphi = 112 integral0^pi2 sin^3phi cosphi , dphi
Agora, a integral fica:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a integral0^pi2 sin^3phi cosphi , dphi :
integral0^1 u^3 , du = [ u^44 ]0^1 = 14
Fazendo a substituição 112 cdot 14 = 148 , então . Quando , , e quando , . A integral fica:
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral tripla vale .

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