(1,5 pontos cada)Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função abaixo: f(x, y) = x^2 * ln(μ / (1 + x^2) + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que nos permite ver como a função muda em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . A função é um produto de e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Identificamos e . Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a . Aqui usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, é tratado como uma constante, então precisamos derivar apenas a parte do logaritmo em relação a .

Passo 7

A derivada de em relação a é , onde . Derivando :
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

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