y'' + y = sec(x) tg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Isso significa que estamos procurando soluções onde o lado direito é igual a zero. A equação característica para essa equação é , que tem as raízes . Portanto, as soluções são combinações de funções seno e cosseno:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito não é um polinômio, exponencial ou seno/cosseno simples, vamos utilizar o método de variação das constantes.

Passo 4

No método de variação das constantes, assumimos que as constantes e na solução homogênea são funções de . Ou seja, vamos considerar:
Para encontrar e , derivamos e substituímos na equação original. Após algumas simplificações, encontramos:
Integrando essas expressões:
Desconsiderando as constantes de integração para a solução particular:

Passo 5

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:

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