Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Isso significa que estamos procurando soluções onde o lado direito é igual a zero. A equação característica para essa equação é
, que tem as raízes
. Portanto, as soluções são combinações de funções seno e cosseno:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito não é um polinômio, exponencial ou seno/cosseno simples, vamos utilizar o método de variação das constantes.
Passo 4
No método de variação das constantes, assumimos que as constantes
e
na solução homogênea são funções de
. Ou seja, vamos considerar:
Para encontrar
e
, derivamos
e substituímos na equação original. Após algumas simplificações, encontramos:
Integrando essas expressões:
Desconsiderando as constantes de integração para a solução particular:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: