Calcule
onde é o sólido limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla de sobre um sólido . Esse sólido é limitado de cima por uma esfera e de baixo por um cone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões redondas como esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sólido . A esfera está centrada no ponto e tem raio . O cone se abre para cima a partir da origem. A interseção entre a esfera e o cone ocorre quando , onde é a distância radial no plano .

Passo 3

Agora, vamos passar para as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, a posição de um ponto é dada por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo com o eixo .
  • é o ângulo no plano .
A nossa função integranda fica mais simples nesse sistema, e o elemento de volume passa a ser .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de a porque toda a volta no plano está incluída.
  • varia de a porque o cone corresponde a .
  • varia de até porque a esfera dá o limite superior para .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:
Integrando em relação a :
Substituindo na integral:
Fazendo a integração em :
Usando substituição , então :
Aplicando os limites de de a :
Finalmente, integrando em de a :

Resposta

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Seja um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .
Seja o conjunto . Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
Calcule
onde e é a curva obtida como interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário.
Determine as derivadas parciais para a função