Calcule
integral triplaW raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z
onde W é o sólido limitado superiormente pela esfera x^2+y^2+(z-12)^2=14 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla de sobre um sólido . Esse sólido é limitado de cima por uma esfera e de baixo por um cone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões redondas como esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o sólido . A esfera está centrada no ponto e tem raio . O cone se abre para cima a partir da origem. A interseção entre a esfera e o cone ocorre quando , onde é a distância radial no plano .

Passo 3

Agora, vamos passar para as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, a posição de um ponto é dada por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo com o eixo .
  • é o ângulo no plano .
A nossa função integranda fica mais simples nesse sistema, e o elemento de volume passa a ser .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de a porque toda a volta no plano está incluída.
  • varia de a porque o cone corresponde a .
  • varia de até porque a esfera dá o limite superior para .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaW raizx^2+y^2+z^2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^cosphi rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^2pi integral0^pi4 integral0^cosphi rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta
Integrando em relação a integral0^cosphi rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^cosphi = cos^4phi4 :
integral0^2pi integral0^pi4 cos^4phi4 sinphi , dphi , dtheta
Substituindo na integral:
integral u^44 (-du) = 14 integral u^4 , du = 14 cdot u^55
Fazendo a integração em 14 ( 15 - (raiz22)^55 ) = 120 (1 - raiz216) = 8 - raiz2160 :
Usando substituição 2pi cdot 8 - raiz2160 = (8 - raiz2)pi80 , então :
Aplicando os limites de de a :
Finalmente, integrando em de a :

Resposta

(8 - raiz2)pi80

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