Calcule
onde
é o sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla de
sobre um sólido
. Esse sólido
é limitado de cima por uma esfera
e de baixo por um cone
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões redondas como esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o sólido
. A esfera está centrada no ponto
e tem raio
. O cone
se abre para cima a partir da origem. A interseção entre a esfera e o cone ocorre quando
, onde
é a distância radial no plano
.
Passo 3
Agora, vamos passar para as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, a posição de um ponto é dada por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo com o eixo . -
é o ângulo no plano .
A nossa função integranda
fica mais simples nesse sistema, e o elemento de volume
passa a ser
.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de a porque toda a volta no plano está incluída. -
varia de a porque o cone corresponde a . -
varia de até porque a esfera dá o limite superior para .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:
Integrando em relação a
:
Substituindo na integral:
Fazendo a integração em
:
Usando substituição
, então
:
Aplicando os limites de
de
a
:
Finalmente, integrando em
de
a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .
Considere o conjunto
(a)
(b)
© existe
(d) existe
(e)
Seja o conjunto
. Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
Calcule
onde
e
é a curva obtida como interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.
Determine as derivadas parciais
para a função