Determine as derivadas parciais para a função

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função e precisa encontrar a derivada parcial de terceira ordem . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais sucessivas e aplicar as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como temos uma derivada de terceira ordem, vamos derivar a função três vezes, cada vez em relação a uma variável diferente.
Nossa função é:
Vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência para facilitar a derivação:

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a :
Aqui, tratamos e como constantes.

Passo 4

Agora, vamos derivar o resultado anterior em relação a :
Usando a regra da potência:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos derivar o resultado acima em relação a :
Usando a regra da potência novamente:
Os sinais negativos se cancelam:

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é:

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