Determine as derivadas parciais
para a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função
e precisa encontrar a derivada parcial de terceira ordem
. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais sucessivas e aplicar as regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como temos uma derivada de terceira ordem, vamos derivar a função três vezes, cada vez em relação a uma variável diferente.
Nossa função é:
Vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência para facilitar a derivação:
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
:
Aqui, tratamos
e
como constantes.
Passo 4
Agora, vamos derivar o resultado anterior em relação a
:
Usando a regra da potência:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar o resultado acima em relação a
:
Usando a regra da potência novamente:
Os sinais negativos se cancelam:
Resposta
A derivada parcial de terceira ordem é:
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Calcule
onde
e
é a curva obtida como interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.
Calcule
onde
é o sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto (1,1,1 )