Determine as derivadas parciais partial^3 zpartialu partialv partialw para a função z=u raizv-w

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função e precisa encontrar a derivada parcial de terceira ordem . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais sucessivas e aplicar as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como temos uma derivada de terceira ordem, vamos derivar a função três vezes, cada vez em relação a uma variável diferente.
Nossa função é:
z = u raizv - w
Vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência para facilitar a derivação:
z = u (v - w)^12

Passo 3

Vamos começar derivando partial zpartial u = (v - w)^12 em relação a :
Aqui, tratamos e como constantes.

Passo 4

Agora, vamos derivar o resultado anterior em relação a partial^2 zpartial v partial u = partialpartial v ( (v - w)^12 ) :
partial^2 zpartial v partial u = 12 (v - w)^-12 cdot 1
Usando a regra da potência:
partial^2 zpartial v partial u = 12 raizv - w
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos derivar o resultado acima em relação a partial^3 zpartial w partial v partial u = partialpartial w ( 12 raizv - w ) :
partial^3 zpartial w partial v partial u = 12 cdot ( -12 ) (v - w)^-32 cdot (-1)
Usando a regra da potência novamente:
partial^3 zpartial w partial v partial u = 14 (v - w)^-32
Os sinais negativos se cancelam:

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é:
partial^3 zpartial u partial v partial w = 14 (v - w)^32

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