Calcule
ointC F cdot d r
onde F(x, y, z)=(y z+x^3, 2 x z+3 y^2, x y+4) e C é a curva obtida como interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano x+y+z=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente de Integrais de Linha. A tarefa é calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva , que é a interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral usando técnicas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva z = 1 - x - y . Ela é onde o cilindro (que é um cilindro circular de raio 1 alinhado ao eixo z) corta o plano . Para parametrizar essa curva, vamos expressar em termos de e a partir do plano:
Então, podemos descrever em termos de e que satisfazem e .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas paramétricas para o círculo x = costheta, y = sintheta . Podemos definir z = 1 - costheta - sintheta e r(theta) = ( costheta, sintheta, 1 - costheta - sintheta ), theta in [0, 2pi] usando um parâmetro que varia de 0 a :
Substituindo esses valores na expressão para :
Então, a parametrização de fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular drdtheta = ( -sintheta, costheta, sintheta - costheta ) dtheta , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos substituir F(r(theta)) = ( sintheta cdot (1 - costheta - sintheta) + cos^3theta, 2costheta cdot (1 - costheta - sintheta) + 3sin^2theta, costheta sintheta + 4 ) na função vetorial usando a parametrização:

Passo 6

A integral de linha ointC F cdot dr = integral0^2pi F(r(theta)) cdot drdtheta dtheta se transforma na integral de em relação a de 0 a :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot drdtheta &= ( sintheta(1 - costheta - sintheta) + cos^3theta )(-sintheta) &+ ( 2costheta(1 - costheta - sintheta) + 3sin^2theta )(costheta) &+ ( costheta sintheta + 4 )(sintheta - costheta) :

Passo 8

Após resolver a expressão acima, integramos o resultado de a . Devido à periodicidade das funções trigonométricas, muitas das integrais irão se anular, simplificando bastante o cálculo.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral de linha é igual a .

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