Calcule
onde
e
é a curva obtida como interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente de Integrais de Linha. A tarefa é calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva
, que é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e depois calcular a integral usando técnicas de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é onde o cilindro
(que é um cilindro circular de raio 1 alinhado ao eixo z) corta o plano
. Para parametrizar essa curva, vamos expressar
em termos de
e
a partir do plano:
Então, podemos descrever
em termos de
e
que satisfazem
e
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas paramétricas para o círculo
. Podemos definir
e
usando um parâmetro
que varia de 0 a
:
Substituindo esses valores na expressão para
:
Então, a parametrização de
fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos substituir
na função vetorial
usando a parametrização:
Passo 6
A integral de linha
se transforma na integral de
em relação a
de 0 a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 8
Após resolver a expressão acima, integramos o resultado de
a
. Devido à periodicidade das funções trigonométricas, muitas das integrais irão se anular, simplificando bastante o cálculo.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é o sólido limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cone
.
Seja
um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .
Considere o conjunto
(a)
(b)
© existe
(d) existe
(e)
Determine as derivadas parciais
para a função
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto (1,1,1 )