Calcule
onde e é a curva obtida como interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente de Integrais de Linha. A tarefa é calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva , que é a interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e depois calcular a integral usando técnicas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Ela é onde o cilindro (que é um cilindro circular de raio 1 alinhado ao eixo z) corta o plano . Para parametrizar essa curva, vamos expressar em termos de e a partir do plano:
Então, podemos descrever em termos de e que satisfazem e .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas paramétricas para o círculo . Podemos definir e usando um parâmetro que varia de 0 a :
Substituindo esses valores na expressão para :
Então, a parametrização de fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos substituir na função vetorial usando a parametrização:

Passo 6

A integral de linha se transforma na integral de em relação a de 0 a :

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 8

Após resolver a expressão acima, integramos o resultado de a . Devido à periodicidade das funções trigonométricas, muitas das integrais irão se anular, simplificando bastante o cálculo.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral de linha é igual a .

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Calcule
onde é o sólido limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone .
Seja um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .
Determine as derivadas parciais para a função
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1,1 )