As integrais abaixo não podem ser calculadas extamente, em termos de funções elementares, com a ordem da integração dada. Inverta a ordem da integração e faça os cálculos.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular uma integral dupla que, na ordem atual, não pode ser resolvida exatamente usando funções simples. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, especificamente sobre mudanças na ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como inverter as ordens de integração e aplicar substituições para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
Aqui,
varia de 0 a
, e para cada
,
varia de
até
. Isso define uma região triangular no plano XY.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, vamos fazer o contrário: primeiro em relação a
e depois a
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Passo 4
Ao inverter,
irá variar de 0 a
. Para cada valor de
,
vai de 0 a
. Então, a integral vira:
Passo 5
Observe que, dentro da integral,
não depende de
. Isso facilita a integração em relação a
. Então, vamos integrar
em relação a
de 0 a
:
Passo 6
Agora, a integral simplificada fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
A integral de
é
, mas vamos aplicar os limites de integração.
Passo 8
Voltando para os limites de
:
Quando
,
.
Quando
,
.
Então, a integral fica:
Passo 9
Simplificando os valores:
Portanto:
Resposta
A solução da integral é:
Exercícios relacionados
A energia armazenada em um capacitor é proporcional à área sob a curva de tensão
no intervalo de
a
. Determine a energia total armazenada. Esboce o gráfico da função.
Calcule:
; onde
é o sólido limitado pelo parabolóide