As integrais abaixo não podem ser calculadas extamente, em termos de funções elementares, com a ordem da integração dada. Inverta a ordem da integração e faça os cálculos.
integral0^raizpi / 2 integralx^raizpi / 2 tan (y^2) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou envolve calcular uma integral dupla que, na ordem atual, não pode ser resolvida exatamente usando funções simples. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral, especificamente sobre mudanças na ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como inverter as ordens de integração e aplicar substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral dada é:
integral0^raizpi / 2 integralx^raizpi / 2 tan (y^2) , dy , dx
Aqui, varia de 0 a , e para cada , varia de até . Isso define uma região triangular no plano XY.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois em relação a , vamos fazer o contrário: primeiro em relação a e depois a . Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.

Passo 4

Ao inverter, integral0^raizpi/2 integral0^y tan (y^2) , dx , dy irá variar de 0 a . Para cada valor de , vai de 0 a . Então, a integral vira:

Passo 5

Observe que, dentro da integral, integral0^y tan (y^2) , dx = tan (y^2) cdot (y - 0) = y cdot tan (y^2) não depende de . Isso facilita a integração em relação a . Então, vamos integrar em relação a de 0 a :

Passo 6

Agora, a integral simplificada fica:
integral0^raizpi/2 y cdot tan (y^2) , dy
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Deixe , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
12 integral tan(u) , du
A integral de é , mas vamos aplicar os limites de integração.

Passo 8

Voltando para os limites de 12 [ -ln|cos(pi/4)| + ln|cos(0)| ] :
Quando , .
Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 9

Simplificando os valores:
cos(pi/4) = raiz22 e cos(0) = 1
Portanto:
12 [ -ln(raiz22) + ln(1) ] = 12 [ -ln(raiz22) ]

Resposta

A solução da integral é:
14 ln 2

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