Calcule a integral trocando a ordem de integração.
48. integral0^1 integralx^1 e^2 y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla . Isso é sobre mudança da ordem de integração, que faz parte do estudo de cálculo de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração se comportam e reorganizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O varia de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso significa que estamos integrando na região triangular onde .

Passo 3

Agora, para trocar a ordem de integração, vamos pensar em primeiro. vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 até . Então, os novos limites são: de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 4

Com isso, a integral com a ordem trocada fica:
integral0^1 integral0^y e^2 y , dx , dy
Note que não depende de , então a integral em será simples.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral0^y e^2 y , dx = e^2 y integral0^y , dx = e^2 y cdot [x]0^y = e^2 y cdot y :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 y e^2 y , dy
Para resolver essa integral, usaremos a integração por partes, onde e .

Passo 7

Calculando os termos da integração por partes:
du = dy e v = 12 e^2 y
Aplicando a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então:
integral y e^2 y , dy = y cdot 12 e^2 y - integral 12 e^2 y , dy = y e^2 y2 - e^2 y4 + C

Passo 8

Agora, avaliamos de 0 a 1:
[ y e^2 y2 - e^2 y4 ]0^1 = ( 1 cdot e^22 - e^24 ) - ( 0 - 14 ) = e^24 + 14 = e^2 + 14

Resposta

A integral calculada é .

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