Calcule a integral trocando a ordem de integração.
48.
48.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
. Isso é sobre mudança da ordem de integração, que faz parte do estudo de cálculo de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração se comportam e reorganizá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
até 1. Isso significa que estamos integrando na região triangular onde
.
Passo 3
Agora, para trocar a ordem de integração, vamos pensar em
primeiro.
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 até
. Então, os novos limites são:
de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 4
Com isso, a integral com a ordem trocada fica:
Note que
não depende de
, então a integral em
será simples.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, usaremos a integração por partes, onde
e
.
Passo 7
Calculando os termos da integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Então:
Passo 8
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
A integral calculada é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integraçalo e mude a ordem de integraçalo.
41.
41.
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado:
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.
50.
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
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