Calcule a integral trocando a ordem de integração.
48.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla . Isso é sobre mudança da ordem de integração, que faz parte do estudo de cálculo de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites de integração se comportam e reorganizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O varia de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso significa que estamos integrando na região triangular onde .

Passo 3

Agora, para trocar a ordem de integração, vamos pensar em primeiro. vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 até . Então, os novos limites são: de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 4

Com isso, a integral com a ordem trocada fica:
Note que não depende de , então a integral em será simples.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, usaremos a integração por partes, onde e .

Passo 7

Calculando os termos da integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Então:

Passo 8

Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

A integral calculada é .

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Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
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