Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla, que é um conceito de Cálculo Integral onde integramos uma função sobre uma região no plano. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender os limites de integração atuais e redefini-los.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região de integração para visualizar melhor. Originalmente, temos:
varia de 0 a 5.
Para cada , varia de até 2.
Isso significa que a região está limitada pela curva , a linha vertical , e a .
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, vamos expressar em termos de :
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até (porque é a inversa de ).
No entanto, note que também está limitado por 5. Quando , ou seja, , o limite superior de será 5 ao invés de .
Passo 4
Vamos identificar o valor de onde :
Então, dividimos a integral em duas partes:
De a , onde varia de 0 a .
De a , onde varia de 0 a 5.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral trocando a ordem de integração:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira Integral:
Como é constante em relação a , a integral interna é: