Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50. integral0^5 integralraiz[3]y^2 e^4 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^5 integralraiz[3]y^2 e^4 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla, que é um conceito de Cálculo Integral onde integramos uma função sobre uma região no plano. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender os limites de integração atuais e redefini-los.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região de integração para visualizar melhor. Originalmente, temos:
  • varia de 0 a 5.
  • Para cada , varia de até 2.
Isso significa que a região está limitada pela curva , a linha vertical , e a .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, vamos expressar em termos de :
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (porque é a inversa de ).
No entanto, note que também está limitado por 5. Quando , ou seja, , o limite superior de será 5 ao invés de .

Passo 4

Vamos identificar o valor de x = raiz[3]5 approx 1.710 onde :
Então, dividimos a integral em duas partes:
  1. De a , onde varia de 0 a .
  2. De a , onde varia de 0 a 5.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral trocando a ordem de integração:
integral0^raiz[3]5 integral0^x^3 e^4 , dy , dx + integralraiz[3]5^2 integral0^5 e^4 , dy , dx

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira Integral:
integral0^raiz[3]5 integral0^x^3 e^4 , dy , dx
Como integral0^x^3 e^4 , dy = e^4 cdot y |0^x^3 = e^4 cdot x^3 é constante em relação a e^4 integral0^raiz[3]5 x^3 , dx = e^4 cdot [ x^44 ]0^raiz[3]5 = e^4 cdot (raiz[3]5)^44 = e^4 cdot 5^4/34 , a integral interna é:
integralraiz[3]5^2 integral0^5 e^4 , dy , dx
Então, a primeira integral fica:
integral0^5 e^4 , dy = e^4 cdot y |0^5 = e^4 cdot 5
Segunda Integral:
5e^4 integralraiz[3]5^2 , dx = 5e^4 cdot (2 - raiz[3]5)
Novamente, é constante:
Então, a segunda integral fica:

Passo 7

Agora, somamos as duas partes:
e^4 cdot 5^4/34 + 5e^4 cdot (2 - raiz[3]5)
Podemos fatorar e^4 ( 5^4/34 + 5(2 - raiz[3]5) ) :

Resposta

A integral trocando a ordem de integração é:
e^4 ( 5^4/34 + 5(2 - raiz[3]5) )

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