Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma integral dupla, que é um conceito de Cálculo Integral onde integramos uma função sobre uma região no plano. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender os limites de integração atuais e redefini-los.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região de integração para visualizar melhor. Originalmente, temos:
  • varia de 0 a 5.
  • Para cada , varia de até 2.
Isso significa que a região está limitada pela curva , a linha vertical , e a .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, vamos expressar em termos de :
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até (porque é a inversa de ).
No entanto, note que também está limitado por 5. Quando , ou seja, , o limite superior de será 5 ao invés de .

Passo 4

Vamos identificar o valor de onde :
Então, dividimos a integral em duas partes:
  1. De a , onde varia de 0 a .
  2. De a , onde varia de 0 a 5.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral trocando a ordem de integração:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira Integral:
Como é constante em relação a , a integral interna é:
Então, a primeira integral fica:
Segunda Integral:
Novamente, é constante:
Então, a segunda integral fica:

Passo 7

Agora, somamos as duas partes:
Podemos fatorar :

Resposta

A integral trocando a ordem de integração é:

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Calcule a integral trocando a ordem de integração.
48.
Esboce a região de integraçalo e mude a ordem de integraçalo.
41.
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
;
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(a) ;