Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
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Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa verificar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Vamos precisar entender o que acontece com os termos da sequência conforme cresce, especialmente o limite quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se os seus termos se aproximam de um valor específico quando tende ao infinito. Esse valor é chamado de limite da sequência. Se a sequência não se aproxima de nenhum valor específico, ela é divergente.

Passo 3

Vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito. Observamos que:
  1. O termo alterna entre 1 e -1 conforme aumenta.
  2. O denominador cresce sem limites conforme aumenta.
Mesmo que o numerador oscile entre 1 e -1, o denominador cresce muito mais, fazendo com que todo o termo fique cada vez menor em magnitude.

Passo 4

Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Isso porque, independente do valor de , o denominador vai para infinito, fazendo com que a fração inteira vá para 0.

Passo 5

Como o limite da sequência existe e é igual a 0, podemos concluir que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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$(a) ;
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, onde , para todo .