Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Vamos precisar entender o que acontece com os termos da sequência conforme
cresce, especialmente o limite quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se os seus termos se aproximam de um valor específico quando
tende ao infinito. Esse valor é chamado de limite da sequência. Se a sequência não se aproxima de nenhum valor específico, ela é divergente.
Passo 3
Vamos calcular o limite da sequência
quando
tende ao infinito. Observamos que:
- O termo
alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. - O denominador
cresce sem limites conforme aumenta.
Mesmo que o numerador oscile entre 1 e -1, o denominador cresce muito mais, fazendo com que todo o termo
fique cada vez menor em magnitude.
Passo 4
Matematicamente, podemos expressar isso assim:
Isso porque, independente do valor de
, o denominador
vai para infinito, fazendo com que a fração inteira vá para 0.
Passo 5
Como o limite da sequência existe e é igual a 0, podemos concluir que a sequência
é convergente.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 0.
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Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(a) ;
$(a)
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, onde
, para todo
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