Esboce a região de integraçalo e mude a ordem de integraçalo.
41.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a região de integração e mudar a ordem dos integrais da integral dupla:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e das técnicas para mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender como a região está definida e então reorganizar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 3. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Vamos analisar as funções que definem os limites de
:
-
e : - Essa expressão está dentro de uma raiz quadrada, então
. - Resolvendo
, vemos que isso ocorre para .
- Essa expressão está dentro de uma raiz quadrada, então
-
e : - Aqui, também temos uma raiz quadrada, então
. - Resolvendo
dá , que é aproximadamente 1.732.
- Aqui, também temos uma raiz quadrada, então
Então, a verdadeira região de integração está quando ambas as condições são satisfeitas, ou seja, para
.
Passo 3
Vamos esboçar a região:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de a . - Além disso,
está limitado por a , mas para , será menor que , então os limites de são dominados por .
Portanto, a região de integração é simétrica em relação ao eixo
, limitada inferiormente por
e superiormente por
, com
variando de
a
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente,
está de 0 a 1, e para cada
,
vai de
a
.
Para inverter a ordem, precisamos determinar para um dado
quais são os valores de
.
Dado
,
deve satisfazer:
Isso implica que:
Resolvendo a inequação quadrática em
:
Para que haja soluções reais, precisamos que
, ou seja,
.
Então, para
,
varia de
a
.
Além disso,
também deve estar entre 0 e 1.
Passo 5
Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado:
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
48.
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Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.
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