Esboce a região de integraçalo e mude a ordem de integraçalo.
41.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a região de integração e mudar a ordem dos integrais da integral dupla:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e das técnicas para mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender como a região está definida e então reorganizar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 3. Para cada valor de , varia de até .
Vamos analisar as funções que definem os limites de :
  1. e :
    • Essa expressão está dentro de uma raiz quadrada, então .
    • Resolvendo , vemos que isso ocorre para .
  2. e :
    • Aqui, também temos uma raiz quadrada, então .
    • Resolvendo , que é aproximadamente 1.732.
Então, a verdadeira região de integração está quando ambas as condições são satisfeitas, ou seja, para .

Passo 3

Vamos esboçar a região:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de a .
  • Além disso, está limitado por a , mas para , será menor que , então os limites de são dominados por .
Portanto, a região de integração é simétrica em relação ao eixo , limitada inferiormente por e superiormente por , com variando de a .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, está de 0 a 1, e para cada , vai de a .
Para inverter a ordem, precisamos determinar para um dado quais são os valores de .
Dado , deve satisfazer:
Isso implica que:
Resolvendo a inequação quadrática em :
Para que haja soluções reais, precisamos que , ou seja, .
Então, para , varia de a .
Além disso, também deve estar entre 0 e 1.

Passo 5

Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica:

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:

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Desenhar as curvas de nível para os valores de dado:
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
48.
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.