Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(a)
;
$(a)
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o conceito de limite de sequências, que nos ajuda a determinar o comportamento da sequência quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
presente na expressão. Isso fica assim:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito:
-
tende a 0, porque qualquer número dividido por um número muito grande fica muito pequeno. -
também tende a 0 pelos mesmos motivos.
Então, nossa expressão fica:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
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Calcule a integral trocando a ordem de integração.
50.
50.
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, onde
, para todo
.
Estude a convergência das séries:
;