Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(a) ;

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o conceito de limite de sequências, que nos ajuda a determinar o comportamento da sequência quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é a maior potência de presente na expressão. Isso fica assim:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito:
  • tende a 0, porque qualquer número dividido por um número muito grande fica muito pequeno.
  • também tende a 0 pelos mesmos motivos.
Então, nossa expressão fica:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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;
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50.
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, onde , para todo .
Estude a convergência das séries:
;