Calcule a integral trocando a ordem de integração
(d) , integral0^1 integralx^1 e^x / y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral trocando a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e como alterar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e reescrevê-la adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A integral original tem variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos olhando para a área acima da linha no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de fixar integral0^1 integral0^y e^x / y , dx , dy primeiro, vamos fixar . Para cada entre 0 e 1, varia de 0 até . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, integral0^1 e^u cdot y , du = y integral0^1 e^u , du = y [ e^u ]0^1 = y (e - 1) . Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral vira:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^1 y (e - 1) , dy = (e - 1) integral0^1 y , dy
A integral de integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12 de 0 a 1 é:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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