Calcule a integral trocando a ordem de integração
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
trocando a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e como alterar a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e reescrevê-la adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A integral original tem
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1. Isso significa que estamos olhando para a área acima da linha
no intervalo de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de fixar
primeiro, vamos fixar
. Para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna,
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. A integral vira:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
A integral de
de 0 a 1 é:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.