Considere a função f(x, y) = 4x^2 + 4y^2 - 1.
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função . Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que é um assunto da matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e conjunto imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os valores de e ) para os quais a função está definida. Olhando para a função , vemos que ela é uma combinação de termos quadráticos e uma constante.

Passo 3

Como as potências de e são pares e não há divisões por zero ou radicais que poderiam limitar os valores de e , não há restrições para esses valores. Isso significa que e podem ser qualquer número real.

Passo 4

Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais para e . Em notação matemática, escrevemos isso como:
í
Ou seja, todos os pares onde e são reais.

Passo 5

Agora, vamos para o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode produzir. Para encontrar isso, vamos analisar a expressão .

Passo 6

Os termos e são sempre maiores ou iguais a zero, já que qualquer número ao quadrado é não-negativo e multiplicado por 4 continua não-negativo. Portanto, a soma também será sempre maior ou igual a zero.

Passo 7

Assim, o menor valor que pode alcançar ocorre quando . Isso acontece quando e :
Então, pode ser tão baixo quanto -1.

Passo 8

Já que pode crescer sem limites conforme e aumentam, não tem um valor máximo. Ou seja, o conjunto imagem vai de -1 até o infinito.

Resposta

O domínio de é e o conjunto imagem de é .

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