Considere a função
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio e o conjunto imagem da função
. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, que é um assunto da matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e conjunto imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de entrada (neste caso, os valores de
e
) para os quais a função está definida. Olhando para a função
, vemos que ela é uma combinação de termos quadráticos e uma constante.
Passo 3
Como as potências de
e
são pares e não há divisões por zero ou radicais que poderiam limitar os valores de
e
, não há restrições para esses valores. Isso significa que
e
podem ser qualquer número real.
Passo 4
Portanto, o domínio da função
é todo o conjunto dos números reais para
e
. Em notação matemática, escrevemos isso como:
Ou seja, todos os pares
onde
e
são reais.
Passo 5
Agora, vamos para o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função
pode produzir. Para encontrar isso, vamos analisar a expressão
.
Passo 6
Os termos
e
são sempre maiores ou iguais a zero, já que qualquer número ao quadrado é não-negativo e multiplicado por 4 continua não-negativo. Portanto, a soma
também será sempre maior ou igual a zero.
Passo 7
Assim, o menor valor que
pode alcançar ocorre quando
. Isso acontece quando
e
:
Então,
pode ser tão baixo quanto -1.
Passo 8
Já que
pode crescer sem limites conforme
e
aumentam,
não tem um valor máximo. Ou seja, o conjunto imagem vai de -1 até o infinito.
Resposta
O domínio de
é
e o conjunto imagem de
é
.