Considere a função
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e o conjunto imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para resolver, a gente vai precisar lembrar que o denominador não pode ser zero e analisar como os valores de
e
influenciam o resultado da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida. Olhando para
, vemos que o denominador
não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.
Passo 3
Então, precisamos encontrar quais valores de
e
fazem
. A expressão
só é zero quando
e
simultaneamente. Portanto, o único ponto que não pertence ao domínio é
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Sabemos que
é sempre positivo, já que quadrado de um número é positivo ou zero, e excluímos o caso
e
.
Passo 5
Como
, o denominador
é sempre positivo, e como o numerador é
, o resultado da função
será sempre negativo. Além disso, conforme
aumenta, o valor de
se aproxima de zero, mas nunca chega lá.
Passo 6
Matematicamente, podemos dizer que
pode assumir qualquer valor real negativo, ou seja,
.
Resposta
O domínio da função
é todos os pares
reais, exceto
. Em notação,
. O conjunto imagem de
é todos os números reais negativos, ou seja,
.