Considere a função f(x, y) = -2 / (x^2 + y^2).
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e o conjunto imagem da função . Isso envolve entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Para resolver, a gente vai precisar lembrar que o denominador não pode ser zero e analisar como os valores de e influenciam o resultado da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida. Olhando para , vemos que o denominador não pode ser igual a zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Então, precisamos encontrar quais valores de e fazem . A expressão só é zero quando e simultaneamente. Portanto, o único ponto que não pertence ao domínio é .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Sabemos que é sempre positivo, já que quadrado de um número é positivo ou zero, e excluímos o caso e .

Passo 5

Como , o denominador é sempre positivo, e como o numerador é , o resultado da função será sempre negativo. Além disso, conforme aumenta, o valor de se aproxima de zero, mas nunca chega lá.

Passo 6

Matematicamente, podemos dizer que pode assumir qualquer valor real negativo, ou seja, .

Resposta

O domínio da função é todos os pares reais, exceto . Em notação, . O conjunto imagem de é todos os números reais negativos, ou seja, .

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