Determine o volume do sólido dado.
$(e) , Limitado pelos planos coordenados e pelo plano e Limitado pelos planos coordenados e pelo plano.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício pedindo para determinar o volume de um sólido. Esse sólido tá limitado pelos planos coordenados (os eixos x, y e z) e pelo plano definido pela equação . Vamos resolver isso usando cálculo, especificamente integrais múltiplas, que nos ajudam a calcular volumes de formas mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa "limitado pelos planos coordenados e pelo plano ". Isso quer dizer que o sólido está dentro do espaço onde x, y e z são positivos (porque estamos usando os planos coordenados) e também está abaixo do plano dado pela equação.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. Mas, antes de mais nada, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos resolver a equação do plano para cada variável:
  • Para : se y e z forem 0, então .
  • Para : se x e z forem 0, então .
  • Para : se x e y forem 0, .

Passo 4

Vamos expressar z em função de x e y a partir da equação do plano:
Isso nos dá o limite superior para z. O limite inferior é 0, já que estamos nos planos coordenados.

Passo 5

Agora, fixando y, vamos encontrar os limites para x. Quando z = 0:
Então, para cada y, x varia de 0 até .

Passo 6

Finalmente, determinamos os limites para y. Olhando para quando z = 0 e x = 0:
Então, y varia de 0 a 3.

Passo 7

Agora, podemos montar a integral tripla para o volume (V):
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a x:
Substituindo os limites:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Continuando:

Passo 11

Agora, a integral ficou:
Vamos integrar em relação a y:
Ops! Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer o Passo 10.

Passo 12

Após expandir e simplificar corretamente:
Na verdade, os termos , então:
Agora, a integral fica:

Passo 13

Integramos cada termo separadamente:
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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