Determine o volume do sólido dado.
$(e) , Limitado pelos planos coordenados e pelo plano .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício pedindo para determinar o volume de um sólido. Esse sólido tá limitado pelos planos coordenados (os eixos x, y e z) e pelo plano definido pela equação . Vamos resolver isso usando cálculo, especificamente integrais múltiplas, que nos ajudam a calcular volumes de formas mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa "limitado pelos planos coordenados e pelo plano ". Isso quer dizer que o sólido está dentro do espaço onde x, y e z são positivos (porque estamos usando os planos coordenados) e também está abaixo do plano dado pela equação.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. Mas, antes de mais nada, precisamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos resolver a equação do plano para cada variável:
Para : se y e z forem 0, então .
Para : se x e z forem 0, então .
Para : se x e y forem 0, .
Passo 4
Vamos expressar z em função de x e y a partir da equação do plano:
Isso nos dá o limite superior para z. O limite inferior é 0, já que estamos nos planos coordenados.
Passo 5
Agora, fixando y, vamos encontrar os limites para x. Quando z = 0:
Então, para cada y, x varia de 0 até .
Passo 6
Finalmente, determinamos os limites para y. Olhando para quando z = 0 e x = 0:
Então, y varia de 0 a 3.
Passo 7
Agora, podemos montar a integral tripla para o volume (V):
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, integramos em relação a x:
Substituindo os limites:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Continuando:
Passo 11
Agora, a integral ficou:
Vamos integrar em relação a y:
Ops! Parece que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer o Passo 10.