Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser trocada. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 1. Isso forma um triângulo no plano
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar
de
a 1 para cada
, vamos integrar
de 0 a
para cada
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a
:
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja
, então
ou
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 7
Resolvendo a última integral:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: