Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser trocada. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 1. Isso forma um triângulo no plano
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar
de
a 1 para cada
, vamos integrar
de 0 a
para cada
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a
:
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja
, então
ou
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 7
Resolvendo a última integral:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Uma bomba não afogada está localizada
para o lado e com uma distância de
da superfície um reservatório. Ela foi projetada para recalcar água a
e com uma vazão de
. Os tubos utilizados nessa instalação são de aço comercial e possuem diâmetro nominal de 50 mm . Após a bomba há uma tubulação de recalque com 100 m de comprimento e diversos acessório. Determine:
Determina curva característica de uma bomba centrífuga, operando a 1760 rpm , é ajustada para a expressão
, sendo
dado em ft e
em gal
. Use essa curva e as regras de similaridade e preveja o comportamento para essa mesma bomba, que possui um rotor de 305 mm , operando a 1000, 1500, 2000 e 2500 rpm. Construa em um mesmo gráfico essas cinco curvas
e anexe à questão. Quais os pontos nas condições de fechamento e de fornecimento livre para cada rotação?
Um trocador de calor concêntrico de comprimento
é utilizado para o processamento térmico de um produto farmacêutico fluindo em uma velocidade média de
com temperatura de entrada de
. O tubo interno possui diâmetro de 10 mm e possui paredes finas. O tubo exterior possui diâmetro de 20 mm e as paredes externas são bem isoladas termicamente do ambiente. Água flui na região anular entre os tubos à velocidade de 0,56
com temperatura de entrada de
. As propriedades do produto farmacêutico são
e
. As propriedades da água devem ser avaliadas à temperatura de
.
a) Determine o valor do coeficiente global de troca de calor U , em
b) Determine a temperatura média de saída do produto, em , quando o trocador opera em contrafluxo, sabendo que nesta condição o fluxo de calor é igual a
.
c) Determine a temperatura média de saída do produto, , quando o trocador opera em fluxo paralelo, sabendo que nesta condição o fluxo de calor é igual a 807 W.
a) Determine o valor do coeficiente global de troca de calor U , em
b) Determine a temperatura média de saída do produto, em
c) Determine a temperatura média de saída do produto,
Água flui a uma vazão de
por um trocador de calor do tipo casco-e-tubo com duas passagens por casco e 8 passagens por tubo, e é aquecida de
a
. Simultaneamente, gases de escapamento (
) passam por este trocador entrando a
e saindo a
. As propriedades da água em algumas condições são dadas na tabela a seguir
|
|
|
Estado Físico |
---|---|---|---|
|
1,0 | 334,00 | Líquido |
|
5,0 | 336,70 | Líquido |
|
1,0 | 2776,3 | Gás |
|
5,0 | 632,25 | Líquido |
a) Calcule a vazão mássica de gás de escapamento quando a pressão de trabalho da água é de 1,0 bar.
b) Calcule a vazão mássica de gás de escapamento quando a pressão de trabalho da água é de 5,0 bar.
b) Calcule a vazão mássica de gás de escapamento quando a pressão de trabalho da água é de 5,0 bar.