Calcule a integral trocando a ordem de integração:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser trocada. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. Isso forma um triângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar de a 1 para cada , vamos integrar de 0 a para cada . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a :
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 7

Resolvendo a última integral:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Uma bomba não afogada está localizada para o lado e com uma distância de da superfície um reservatório. Ela foi projetada para recalcar água a e com uma vazão de . Os tubos utilizados nessa instalação são de aço comercial e possuem diâmetro nominal de 50 mm . Após a bomba há uma tubulação de recalque com 100 m de comprimento e diversos acessório. Determine:
Determina curva característica de uma bomba centrífuga, operando a 1760 rpm , é ajustada para a expressão , sendo dado em ft e em gal . Use essa curva e as regras de similaridade e preveja o comportamento para essa mesma bomba, que possui um rotor de 305 mm , operando a 1000, 1500, 2000 e 2500 rpm. Construa em um mesmo gráfico essas cinco curvas e anexe à questão. Quais os pontos nas condições de fechamento e de fornecimento livre para cada rotação?
Um trocador de calor concêntrico de comprimento é utilizado para o processamento térmico de um produto farmacêutico fluindo em uma velocidade média de com temperatura de entrada de . O tubo interno possui diâmetro de 10 mm e possui paredes finas. O tubo exterior possui diâmetro de 20 mm e as paredes externas são bem isoladas termicamente do ambiente. Água flui na região anular entre os tubos à velocidade de 0,56 com temperatura de entrada de . As propriedades do produto farmacêutico são e . As propriedades da água devem ser avaliadas à temperatura de .
a) Determine o valor do coeficiente global de troca de calor U , em
b) Determine a temperatura média de saída do produto, em , quando o trocador opera em contrafluxo, sabendo que nesta condição o fluxo de calor é igual a .
c) Determine a temperatura média de saída do produto, , quando o trocador opera em fluxo paralelo, sabendo que nesta condição o fluxo de calor é igual a 807 W.
Água flui a uma vazão de por um trocador de calor do tipo casco-e-tubo com duas passagens por casco e 8 passagens por tubo, e é aquecida de a . Simultaneamente, gases de escapamento ( ) passam por este trocador entrando a e saindo a . As propriedades da água em algumas condições são dadas na tabela a seguir
Estado Físico
1,0 334,00 Líquido
5,0 336,70 Líquido
1,0 2776,3 Gás
5,0 632,25 Líquido
a) Calcule a vazão mássica de gás de escapamento quando a pressão de trabalho da água é de 1,0 bar.
b) Calcule a vazão mássica de gás de escapamento quando a pressão de trabalho da água é de 5,0 bar.