Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^1 integralx^1 e^x / y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser trocada. O enunciado é:
integral0^1 integralx^1 e^x / y , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. Isso forma um triângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar integral0^1 integral0^y e^x / y , dx , dy de a 1 para cada , vamos integrar de 0 a para cada . Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que agora é em relação a integral0^y e^x / y , dx :
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^y e^x / y , dx = y integral0^1 e^u , du = y [ e^u ]0^1 = y (e - 1)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 y (e - 1) , dy = (e - 1) integral0^1 y , dy

Passo 7

Resolvendo a última integral:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
e - 12

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