Determina curva característica de uma bomba centrífuga, operando a 1760 rpm , é ajustada para a expressão H(Q)=-4,23 cdot 10^-6 cdot Q^2+161, sendo H dado em ft e Q em gal / min. Use essa curva e as regras de similaridade e preveja o comportamento para essa mesma bomba, que possui um rotor de 305 mm , operando a 1000, 1500, 2000 e 2500 rpm. Construa em um mesmo gráfico essas cinco curvas H times Q e anexe à questão. Quais os pontos nas condições de fechamento e de fornecimento livre para cada rotação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas características de uma bomba centrífuga. A gente tem uma bomba que está funcionando a 1760 rpm e temos a equação da curva característica dela: , onde é a altura em pés e é o fluxo em galões por minuto. A gente precisa usar as regras de similaridade, também conhecidas como leis de afinidade, para prever como essa curva muda quando a bomba opera a diferentes velocidades: 1000, 1500, 2000 e 2500 rpm. No final, vamos desenhar todas essas curvas no mesmo gráfico e identificar os pontos de fechamento e de fornecimento livre para cada rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as leis de afinidade para bombas centrífugas. Elas nos dizem como variam a altura H2H1 = ( n2n1 )^2 , o fluxo Q2Q1 = n2n1 e a potência P2P1 = ( n2n1 )^3 quando mudamos a velocidade de operação de uma bomba, mantendo o diâmetro do rotor constante. As fórmulas são:
Aqui, e são os valores na condição inicial (1760 rpm), e e são os valores na nova condição de velocidade .

Passo 3

Vamos aplicar essas leis para cada uma das velocidades desejadas.
  1. Para 1000 rpm:
    H1000161 = ( 10001760 )^2 Rightarrow H1000 = 161 times ( 10001760 )^2
    Q1000Q = 10001760 Rightarrow Q1000 = Q times 10001760
  2. Para 1500 rpm:
    H1500161 = ( 15001760 )^2 Rightarrow H1500 = 161 times ( 15001760 )^2
    Q1500Q = 15001760 Rightarrow Q1500 = Q times 15001760
  3. Para 2000 rpm:
    H2000161 = ( 20001760 )^2 Rightarrow H2000 = 161 times ( 20001760 )^2
    Q2000Q = 20001760 Rightarrow Q2000 = Q times 20001760
  4. Para 2500 rpm:
    H2500161 = ( 25001760 )^2 Rightarrow H2500 = 161 times ( 25001760 )^2
    Q2500Q = 25001760 Rightarrow Q2500 = Q times 25001760

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores numéricos para cada rotação.
  1. 1000 rpm:
    H1000 = 161 times ( 10001760 )^2 approx 161 times 0,323 approx 52,0 ft
    Q1000 = Q times 10001760 approx Q times 0,568
  2. 1500 rpm:
    H1500 = 161 times ( 15001760 )^2 approx 161 times 0,726 approx 117,0 ft
    Q1500 = Q times 15001760 approx Q times 0,852
  3. 2000 rpm:
    H2000 = 161 times ( 20001760 )^2 approx 161 times 1,298 approx 208,4 ft
    Q2000 = Q times 20001760 approx Q times 1,136
  4. 2500 rpm:
    H2500 = 161 times ( 25001760 )^2 approx 161 times 2,016 approx 324,6 ft
    Q2500 = Q times 25001760 approx Q times 1,420

Passo 5

Com os valores calculados, podemos escrever as novas equações das curvas características para cada velocidade:
  1. 1000 rpm:
    H(Q) = -4,23 times 10^-6 times ( Q0,568 )^2 + 52,0
  2. 1500 rpm:
    H(Q) = -4,23 times 10^-6 times ( Q0,852 )^2 + 117,0
  3. 2000 rpm:
    H(Q) = -4,23 times 10^-6 times ( Q1,136 )^2 + 208,4
  4. 2500 rpm:
    H(Q) = -4,23 times 10^-6 times ( Q1,420 )^2 + 324,6
Essas equações representam as curvas características ajustadas para cada rotação específica.

Passo 6

Para plotar todas as cinco curvas no mesmo gráfico, você pode usar um software como Excel, MATLAB ou qualquer outra ferramenta de plotagem. No eixo teremos o fluxo em galões por minuto e no eixo a altura em pés. Cada curva correspondente a uma rotação diferente terá uma cor ou estilo de linha diferente para facilitar a identificação.

Passo 7

Por fim, vamos identificar os pontos de fechamento e de fornecimento livre para cada rotação.
  • Fechamento: É o ponto onde o fluxo 0 = -4,23 times 10^-6 Q^2 + Hmax . Nessa condição, a altura Q = raizHmax4,23 times 10^-6 é igual à altura manométrica máxima (shim).
    Para todas as rotações, os pontos de fechamento são:
    • 1760 rpm: Q = raiz1614,23 times 10^-6 approx 612 gal/min ft
    • 1000 rpm: Q = raiz52,04,23 times 10^-6 approx 352 gal/min ft
    • 1500 rpm: Q = raiz117,04,23 times 10^-6 approx 526 gal/min ft
    • 2000 rpm: Q = raiz208,44,23 times 10^-6 approx 698 gal/min ft
    • 2500 rpm: Q = raiz324,64,23 times 10^-6 approx 879 gal/min ft
  • Fornecimento Livre: É o ponto onde a curva característica intercepta o eixo , ou seja, quando .
    Para encontrar esse ponto, igualamos a equação de a zero e resolvemos para :
    Calculando para cada rotação:
    1. 1760 rpm:
    2. 1000 rpm:
    3. 1500 rpm:
    4. 2000 rpm:
    5. 2500 rpm:

Resposta

As curvas características da bomba centrífuga operando a 1000, 1500, 2000 e 2500 rpm foram determinadas usando as leis de afinidade. No gráfico combinado das cinco curvas , os pontos de fechamento (quando ) são ft, ft, ft e ft para 1000, 1500, 2000 e 2500 rpm, respectivamente. Os pontos de fornecimento livre (quando ) correspondem a fluxos de aproximadamente 352, 526, 698 e 879 gal/min para as mesmas rotações. O gráfico anexado ilustra o comportamento de todas as curvas sob as diferentes condições de rotação.

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