Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto (1, 3).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular mt (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto . Isso envolve conhecimentos de derivadas, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e, a partir daí, determinar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função .
A função pode ser reescrita como . Vamos derivar em relação a :
Usando a regra da potência para derivação, que diz que , temos:
Simplificando, a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Distribuindo e isolando :
Então, a equação da reta tangente é .
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal , usamos o fato de que:
Agora, usando a mesma forma ponto-inclinação para a reta normal:
Distribuindo e isolando :
Então, a equação da reta normal é .
Resposta
A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .