Calcule a integral usando a integração por partes:
[3] integral0^1 x^2 sin (pi x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de de 0 a 1 usando a integração por partes. Para isso, precisamos escolher quais partes da função serão e e aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher:
u = x^2 e dv = sin(pi x) , dx
Agora, calculamos du = 2x , dx e v = integral sin(pi x) , dx = -cos(pi x)pi :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u v - integral v , du
Substituindo:
integral x^2 sin(pi x) , dx = -x^2 cos(pi x)pi + 2pi integral x cos(pi x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral u = x e dv = cos(pi x) , dx usando novamente a integração por partes. Vamos escolher:
du = dx
Calculando v = integral cos(pi x) , dx = sin(pi x)pi e :

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
integral x cos(pi x) , dx = x sin(pi x)pi - integral sin(pi x)pi , dx
= x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2
Multiplicando por 2pi ( x sin(pi x)pi + cos(pi x)pi^2 ) = 2x sin(pi x)pi^2 + 2 cos(pi x)pi^3 :

Passo 6

Voltando à integral original:
integral x^2 sin(pi x) , dx = -x^2 cos(pi x)pi + 2x sin(pi x)pi^2 + 2 cos(pi x)pi^3 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos avaliar de 0 a 1:
[ -x^2 cos(pi x)pi + 2x sin(pi x)pi^2 + 2 cos(pi x)pi^3 ]0^1
Substituindo -1 cdot cos(pi)pi + 2 cdot sin(pi)pi^2 + 2 cos(pi)pi^3 = 1pi - 2pi^3 :
-0pi + 0pi^2 + 2 cdot 1pi^3 = 2pi^3
Substituindo ( 1pi - 2pi^3 ) - 2pi^3 = 1pi - 4pi^3 :
Então, a integral fica:

Resposta

A integral vale .

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