Calcule a integral usando a Regra da Substituição:
[6] integral x^3 sin (a x^4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra da Substituição. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função trigonométrica composta por uma função polinomial. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando u = a x^4 , percebemos que o argumento é uma boa candidata para . Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir também na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 4a x^3 em relação a du = 4a x^3 dx :
x^3 dx = du4a
Isso significa que:
integral x^3 sin(a x^4) dx = integral sin(u) cdot du4a
Podemos resolver para 14a integral sin(u) du :
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando:

Resposta

Integrando 14a ( -cos(u) ) + C , temos:
-14a cos(a x^4) + C
Substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

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