Calcule a integral usando a Regra da Substituição:
[5] integral0^1 x^2 raiz3+x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra da Substituição. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções compostas. Vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável, simplificando assim a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que dentro da raiz temos u = 3 + x^3 . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx em relação a para substituir :

Passo 4

Vamos isolar x^2 dx = du3 na equação:

Passo 5

Agora, substituímos integral0^1 x^2 raiz3 + x^3 , dx = integralu(0)^u(1) raizu cdot du3 e na integral original:

Passo 6

Calculamos os novos limites de integração substituindo u(0) = 3 + 0^3 = 3 e u(1) = 3 + 1^3 = 4 na expressão de 13 integral3^4 raizu , du :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C . Sabemos que:

Passo 8

Aplicando isso na nossa integral:
13 [ 23 u^3/2 ]3^4 = 29 [ u^3/2 ]3^4

Passo 9

Substituímos os limites de integração:
29 (4^3/2 - 3^3/2)
Calculando cada termo:
4^3/2 = (2^2)^3/2 = 2^3 = 8
3^3/2 = 3 raiz3

Passo 10

Substituímos de volta:
29 (8 - 3raiz3) = 169 - 6raiz39 = 16 - 6raiz39

Resposta

O valor da integral é .

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