Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral x cos 4 x d x ; u=x, d v=cos 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos um produto de duas funções, como aqui, onde temos e . Vamos precisar escolher qual parte será e qual será para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes:
  • Escolhemos . Isso porque derivar simplifica a expressão.
  • Então, .
Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando , temos .
  • Para encontrar , integramos : .

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cos 4x , dx = x cdot 14 sin 4x - integral 14 sin 4x , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral restante integral 14 sin 4x , dx = 14 cdot (-14 cos 4x) = -116 cos 4x :

Passo 5

Substituímos de volta na expressão original:
integral x cos 4x , dx = x4 sin 4x - (-116 cos 4x) = x4 sin 4x + 116 cos 4x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x cos 4x , dx = x4 sin 4x + 116 cos 4x + C

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