Calcule a integral. integral w ln w d w

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da integral vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Essa fórmula é super útil quando temos um produto de duas funções na integral, como é o caso aqui: e .

Passo 3

Agora, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = ln w e dv = w , dw e qual será . A regra geral é escolher como a função que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:

Passo 4

Com du = 1w , dw , vamos calcular v = integral w , dw = w^22 :
E para , vamos encontrar integrando :

Passo 5

Agora que temos integral w ln w , dw = u cdot v - integral v , du , = ln w cdot w^22 - integral w^22 cdot 1w , dw , , e , vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a integral restante:
integral w^22 cdot 1w , dw = integral w2 , dw = 12 integral w , dw = 12 cdot w^22 = w^24

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
integral w ln w , dw = w^22 ln w - w^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral w^22 ln w - w^24 + C resulta em:

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