(2,5 pontos) Determine beta para que y = beta x + 2 seja tangente ao gráfico de f(x) = x^3 - 9x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é encontrar o valor de beta tal que a reta seja tangente ao gráfico da função . Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com reta tangente. Para isso, vamos precisar igualar as funções e suas derivadas para garantir que elas toquem exatamente em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser tangente. Duas curvas são tangentes se elas se cruzam em um ponto específico e nesse ponto, suas inclinações (derivadas) são iguais. Então, precisamos que:
  1. As funções se igualem no ponto de tangência.
  2. As derivadas das funções também se igualem nesse ponto.

Passo 3

Vamos chamar o ponto de tangência de . Então, temos:
E as derivadas:
A derivada da reta é simplesmente beta.
A derivada de é:
No ponto de tangência, as derivadas devem ser iguais:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos substituir a segunda equação na primeira para eliminar beta:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:

Passo 5

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar beta:

Resposta

O valor de beta é .

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