(2,5 pontos) Determine
para que
seja tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é encontrar o valor de
tal que a reta
seja tangente ao gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com reta tangente. Para isso, vamos precisar igualar as funções e suas derivadas para garantir que elas toquem exatamente em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser tangente. Duas curvas são tangentes se elas se cruzam em um ponto específico e nesse ponto, suas inclinações (derivadas) são iguais. Então, precisamos que:
- As funções se igualem no ponto de tangência.
- As derivadas das funções também se igualem nesse ponto.
Passo 3
Vamos chamar o ponto de tangência de
. Então, temos:
E as derivadas:
A derivada da reta
é simplesmente
.
A derivada de
é:
No ponto de tangência, as derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos substituir a segunda equação na primeira para eliminar
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar
:
Resposta
O valor de
é
.