Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral sen^-1 x d x ; u=sen^-1 x, d v=d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções. Aqui, escolhemos e . Vamos precisar lembrar que, para usar essa técnica, precisamos saber como derivar e integrar .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar u = arcsin(x) du = 1raiz1 - x^2 , dx :
Isso porque a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos integrar dv = dx v = integral dx = x :
Integrar é simples, resulta igual a .

Passo 4

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aplicando os valores que encontramos:
integral arcsin(x) , dx = x cdot arcsin(x) - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral w = 1 - x^2 dw = -2x , dx Rightarrow -12 dw = x , dx . Vamos fazer uma substituição simples:
integral xraiz1 - x^2 , dx = -12 integral 1raizw , dw = -12 cdot 2raizw + C = -raiz1 - x^2 + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à expressão original:
integral arcsin(x) , dx = x cdot arcsin(x) - ( -raiz1 - x^2 ) + C = x cdot arcsin(x) + raiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral x cdot arcsin(x) + raiz1 - x^2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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