Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e diferencial, mais especificamente com o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função que é definida por uma integral com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior variável, ou seja,
, então a derivada
é simplesmente
.
Passo 3
No nosso caso, a integral tem um limite inferior que depende de
(
) e um limite superior fixo (
). Para derivar essa função, vamos usar uma extensão do TFC que lida com integrais de limites variáveis. A fórmula geral para a derivada de
é:
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso problema:
-
-
, então -
, que é constante, então
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula:
Como
, o primeiro termo desaparece.
Passo 6
Agora, calculamos
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função é
.
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Calcule a integral.
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
indicadas.
(a) Mostre que se
for uma constante positiva, então
em que
Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo: