Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
g(x)=integralraizx^pi4 theta tg theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e diferencial, mais especificamente com o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função que é definida por uma integral com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior variável, ou seja, , então a derivada é simplesmente .

Passo 3

No nosso caso, a integral tem um limite inferior que depende de g'(x) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x) ( ) e um limite superior fixo ( ). Para derivar essa função, vamos usar uma extensão do TFC que lida com integrais de limites variáveis. A fórmula geral para a derivada de é:

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso problema:
  • , então
  • , que é constante, então

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
g'(x) = f(pi4) cdot 0 - f(raizx) cdot 12raizx
Como , o primeiro termo desaparece.

Passo 6

Agora, calculamos f(raizx) = raizx cdot tg(raizx) :
g'(x) = - raizx cdot tg(raizx) cdot 12raizx
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 7

Simplificando a expressão:
g'(x) = - raizx2raizx cdot tg(raizx) = - 12 tg(raizx)

Resposta

A derivada da função é .

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