Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto (40 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que o Professor passou. A equação é:
Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente o fator integrante, para encontrar a solução geral. No final, também vamos analisar como a solução se comporta quando vai para mais infinito.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.
O fator integrante é dado por:
Vamos calcular .

Passo 4

Calculando o fator integrante:
Como , simplificamos para .

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 6

Com o fator integrante aplicado, a equação à esquerda agora é a derivada do produto :
Isso acontece porque:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , e o lado direito integra para:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Então, temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 9

Agora, temos a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante que pode ser determinada se uma condição inicial for dada.

Passo 10

Para entender o comportamento das soluções quando , vamos analisar cada termo da solução:
  1. cresce sem limites conforme aumenta.
  2. tende a zero quando vai para infinito.
Portanto, à medida que fica muito grande, o termo dominante é , então a solução cresce sem restrições.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando tende para mais infinito, cresce sem limites, comportando-se aproximadamente como .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto (40 pontos)
Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto (40 pontos)
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de indicadas.
Calcule a integral.