Encontre a solução geral da equação diferencial linear dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto
(40 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear que o Professor passou. A equação é:
Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente o fator integrante, para encontrar a solução geral. No final, também vamos analisar como a solução se comporta quando
vai para mais infinito.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular
.
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Como
, simplificamos para
.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 6
Com o fator integrante aplicado, a equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Isso acontece porque:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e o lado direito integra para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, temos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, temos a solução geral da equação diferencial:
Onde
é uma constante que pode ser determinada se uma condição inicial for dada.
Passo 10
Para entender o comportamento das soluções quando
, vamos analisar cada termo da solução:
-
cresce sem limites conforme aumenta. -
tende a zero quando vai para infinito.
Portanto, à medida que
fica muito grande, o termo dominante é
, então a solução cresce sem restrições.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
tende para mais infinito,
cresce sem limites, comportando-se aproximadamente como
.
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