Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em partes que a gente consiga integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
Aqui, a ideia é escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos escolher:
-
(porque ao derivar, ficamos com algo mais simples) -
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Derivando
:
Integrando
para encontrar
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar
.
Passo 7
A integral de
é:
Substituindo de volta:
Resposta
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indicadas.
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(a) Mostre que se
for uma constante positiva, então
em que