Calcule a integral. integral x sen 10 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em partes que a gente consiga integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, ficamos com algo mais simples)
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Derivando du = dx :
v = integral sin(10x) , dx = -110 cos(10x)
Integrando para encontrar :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sin(10x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-110 cos(10x)) - integral (-110 cos(10x)) cdot dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -x10 cos(10x) + 110 integral cos(10x) , dx
Agora, vamos integrar .

Passo 7

A integral de integral cos(10x) , dx = 110 sin(10x) é:
= -x10 cos(10x) + 110 cdot 110 sin(10x)
Substituindo de volta:
= -x10 cos(10x) + sin(10x)100

Resposta

integral x sin(10x) , dx = -x10 cos(10x) + sin(10x)100 + C

Exercícios relacionados