Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em partes que a gente consiga integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto para derivadas e é dada por:
Aqui, a ideia é escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, ficamos com algo mais simples)
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Derivando :
Integrando para encontrar :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar .

Passo 7

A integral de é:
Substituindo de volta:

Resposta

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(a) Mostre que se for uma constante positiva, então
em que