Calcule a integral usando a Regra da Substituição:
[7] integral0^pi / 4 cot (x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de de 0 a . O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais utilizando a Regra da Substituição. Para resolver, vamos precisar entender a função e aplicar a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que integral0^pi / 4 cos(x)sin(x) , dx é igual a . Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = cos(x) implies du = cos(x) , dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral cos(x)sin(x) , dx = integral 1u , du

Passo 5

A integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a é . Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos de volta ln|sin(x)| + C :

Passo 7

Como estamos calculando uma integral definida, aplicamos os limites de integração ln|sin(x)| |0^pi / 4 = ln(sin(pi4)) - ln(sin(0)) e :

Passo 8

Sabemos que ln(raiz22) - (-infty) = infty e . No entanto, tende a , mas neste contexto, considerando a integral, o resultado será:

Resposta

A integral diverge para .

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