Calcule a integral usando a Regra da Substituição:
[8] integral 1(3-5 x)^2 d x

Passo 1

Então, temos a integral . Vamos resolver isso usando a Regra da Substituição, que é uma técnica de cálculo para simplificar integrais. Para aplicar essa regra, precisamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição apropriada. Olhando para a expressão dentro do denominador, u = 3 - 5x , parece uma boa candidata. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -5 Rightarrow du = -5 , dx Rightarrow dx = -du5 em relação a para substituir . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituímos integral 1(3-5x)^2 , dx = integral 1u^2 ( -du5 ) = -15 integral u^-2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos -15 integral u^-2 , du = -15 ( -u^-1 ) + C = 15u + C em relação a 15(3 - 5x) + C :
Finalmente, substituímos de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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