Calcule a integral usando a substituição dada: integral x^3(2+x^4) d x, u=2+x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede pra calcular a integral de em relação a , usando a substituição . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma substituição na integral. A ideia é trocar uma parte da expressão por uma nova variável para simplificar a integral. Aqui, a substituição sugerida é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx(2 + x^4) , dx = 4x^3 , dx , que é a derivada de em relação a . Vamos derivar:
Isso significa que .

Passo 4

Queremos expressar x^3 , dx = du4 em termos de integral x^3(2 + x^4) , dx = integral x^3 cdot u , dx = integral u cdot du4 = 14 integral u , du . Da equação anterior:
Então, substituímos na integral original:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
14 integral u , du
A integral de 14 cdot u^22 + C = u^28 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos a substituir (2 + x^4)^28 + C pelo valor original :

Resposta

A integral de (2 + x^4)^28 + C é:

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