Encontre o valor médio da função no intervalo dado: h(x) = cos(4 x) * sen(x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor médio da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula do valor médio de uma função em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o valor médio de uma função no intervalo . A fórmula é:
é
Aqui, e , e nossa função é .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
é
Então, precisamos calcular a integral .

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica que facilita a multiplicação de funções trigonométricas:
Aplicando isso no nosso caso, onde e :

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral:
Isso facilita a integração, já que integraremos termo a termo.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
A integral de é . Então:

Passo 7

Calculando as integrais nos limites:
Para :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, voltando à fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo de a é .

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