Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
7. integral raiz4 x^2-25x d x x=52 sec theta

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo aqui envolve integração por substituição trigonométrica, que é útil quando a integral contém expressões que lembram identidades trigonométricas. Vamos precisar utilizar a identidade durante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: dx = 52 sec theta tan theta , dtheta . Isso significa que estamos expressando em termos de para simplificar a integral. Vamos encontrar derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir integral raiz4(52 sec theta)^2 -2552 sec theta cdot 52 sec theta tan theta , dtheta e 4 (254 sec^2 theta) - 25 = 25 sec^2 theta - 25 = 25 (sec^2 theta -1) = 25 tan^2 theta na integral original:
raiz25 tan^2 theta = 5 tan theta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral 5 tan theta52 sec theta cdot 52 sec theta tan theta , dtheta
Os termos integral 5 tan^2 theta , dtheta se cancelam:

Passo 5

Sabemos que integral 5 (sec^2 theta -1) , dtheta = 5 integral sec^2 theta , dtheta - 5 integral 1 , dtheta . Vamos usar isso para simplificar a integral:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta e integral 1 , dtheta = theta
As integrais conhecidas são:
5 tan theta - 5 theta + C
Então:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original sec theta = 2x5 Rightarrow theta = sec^-1 ( 2x5 ) . Sabemos que tan theta = raiz4x^2 -255 , então:
5 cdot raiz4x^2 -255 - 5 sec^-1 ( 2x5 ) + C = raiz4x^2 -25 - 5 sec^-1 ( 2x5 ) + C
E, a partir do triângulo:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral raiz4x^2 -25 - 5 sec^-1 ( 2x5 ) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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