Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
7.
7.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo aqui envolve integração por substituição trigonométrica, que é útil quando a integral contém expressões que lembram identidades trigonométricas. Vamos precisar utilizar a identidade
durante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada:
. Isso significa que estamos expressando
em termos de
para simplificar a integral. Vamos encontrar
derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Os termos
se cancelam:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos usar isso para simplificar a integral:
As integrais conhecidas são:
Então:
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
E, a partir do triângulo:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
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5.
Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente em cada uma das seguintes equações diferenciais:
Construa o conjunto
e faça uma tabela de soma de classes como no exercício anterior.
Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição.
s)
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