Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
7.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo aqui envolve integração por substituição trigonométrica, que é útil quando a integral contém expressões que lembram identidades trigonométricas. Vamos precisar utilizar a identidade durante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que estamos expressando em termos de para simplificar a integral. Vamos encontrar derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
Os termos se cancelam:

Passo 5

Sabemos que . Vamos usar isso para simplificar a integral:
As integrais conhecidas são:
Então:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:
E, a partir do triângulo:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
5.
Determine a ordem, a função incógnita e a variável independente em cada uma das seguintes equações diferenciais:
Construa o conjunto e faça uma tabela de soma de classes como no exercício anterior.
Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição.
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