Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma parte da função dentro de outra, facilitando a matemática. Vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável, o que simplificará o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher a substituição certa. Olhando para a integral, vemos
dentro da raiz quadrada. Então, vamos definir:
Essa escolha vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para mudar a variável na integral. Derivando ambos os lados:
Isso significa que:
Essa relação vai substituir o
na integral original.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Agora, a integral está em termos de
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
. A regra da potência para integrais diz que:
Aqui,
, então:
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original substituindo
: