Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição.
s) integral x raiz1+3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma parte da função dentro de outra, facilitando a matemática. Vamos precisar identificar uma parte da integral para substituir por uma nova variável, o que simplificará o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a substituição certa. Olhando para a integral, vemos u = 1 + 3x^2 dentro da raiz quadrada. Então, vamos definir:
Essa escolha vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx em relação a x , dx = du6 para mudar a variável na integral. Derivando ambos os lados:
Isso significa que:
Essa relação vai substituir o na integral original.

Passo 4

Vamos substituir integral x raiz1 + 3x^2 , dx = integral raizu cdot du6 = 16 integral u^12 , du e na integral original:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a 16 integral u^12 , du = 16 cdot u^3232 = 16 cdot 23 u^32 = 19 u^32 + C . A regra da potência para integrais diz que:
Aqui, , então:

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo 19 (1 + 3x^2)^32 + C :

Resposta

integral x raiz1+3 x^2 , dx = 19 (1 + 3x^2)^32 + C

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