Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada.
5. integral x^3raiz1-x^2 d x x=sen theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral x^3raiz1-x^2 , dx usando a substituição trigonométrica indicada, que é x = sin theta. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração usando substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar substituir as variáveis e simplificar a integral passo a passo.

Passo 2

Começamos fazendo a substituição x = sin theta. Dessa forma, dx será a derivada de sin theta em relação a theta, ou seja, dx = cos theta , dtheta. Também precisamos substituir raiz1 - x^2 pela expressão correspondente em termos de theta. Como x = sin theta, então 1 - x^2 = 1 - sin^2 theta = cos^2 theta, e portanto raiz1 - x^2 = cos theta.

Passo 3

Agora, substituímos todas as partes da integral original:
integral x^3raiz1 - x^2 , dx = integral (sin theta)^3cos theta cdot cos theta , dtheta
Observe que cos theta no numerador e no denominador se cancelam:
integral sin^3 theta , dtheta
Para integrar sin^3 theta, podemos reescrever sin^3 theta como sin^2 theta cdot sin theta e usar a identidade sin^2 theta = 1 - cos^2 theta:
integral (1 - cos^2 theta) sin theta , dtheta
Agora, fazemos a substituição u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta. A integral fica:
- integral (1 - u^2) , du = - ( u - u^33 ) + C = -u + u^33 + C
Substituindo de volta u = cos theta:
- cos theta + cos^3 theta3 + C

Passo 4

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = sin theta, então cos theta = raiz1 - x^2. Substituindo isso na expressão obtida:
- raiz1 - x^2 + (1 - x^2)^3/23 + C
Podemos fatorar raiz1 - x^2:
raiz1 - x^2 ( -1 + (1 - x^2)3 ) + C = raiz1 - x^2 ( -33 + 1 - x^23 ) + C = raiz1 - x^2 ( -3 + 1 - x^23 ) + C
Simplificando:
raiz1 - x^2 ( -2 - x^23 ) + C = -2 + x^23 raiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral integral x^3raiz1-x^2 , dx é igual a -2 + x^23 raiz1 - x^2 + C, onde C é a constante de integração.

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