Calcule a integral, utilizando integrais trigonométricas
f) integral tg x cdot sec ^6 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de tan x cdot sec^6 x em relação a x. A matéria envolvida aqui são integrais trigonométricas, que são integrais que têm funções trigonométricas como tan x e sec x. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan x pode ser escrita como sin xcos x e sec x é igual a 1cos x. Mas nesse caso, uma boa estratégia é reconhecer que o derivado de sec x é sec x cdot tan x. Isso sugere que podemos escolher uma substituição onde parte da nossa função vai se tornar du.

Passo 3

Vamos escolher u = sec x. Agora, precisamos calcular du. Sabemos que:
dudx = ddx (sec x) = sec x cdot tan x
Então, temos:
du = sec x cdot tan x , dx

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u e du. A integral original é:
integral tan x cdot sec^6 x , dx
Sabemos que sec^6 x = (sec x)^6 = u^6 e tan x cdot sec x , dx = du. Portanto, nossa integral fica:
integral u^6 , du

Passo 5

Essa é uma integral simples de potência. A regra para integrar u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso aqui, temos:
integral u^6 , du = u^77 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original, que é x. Lembrando que u = sec x, então:
u^77 + C = (sec x)^77 + C = sec^7 x7 + C

Resposta

A integral de tan x cdot sec^6 x , dx é igual a sec^7 x7 + C, onde C é a constante de integração.

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